固有値と固有ベクトルの公式｜固有多項式det(λE−A)=0の求め方・和はトレース積は行列式の証明と例題【大学院入試・線形代数】

固有値・固有ベクトルの定義と固有多項式

行列 $A$ をかけても向きが変わらず、何倍かされるだけのベクトルを固有ベクトル、その倍率を固有値といいます。対角化・行列の $n$ 乗・2次形式・微分方程式など、線形代数の後半はすべてここから始まります。

2次なら $\varphi_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$。これはケーリー・ハミルトンの定理に出てくる2次式と同じです。

なぜ成り立つのか（証明）

① 固有値は $\det(\lambda E-A)=0$ の解

$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ は $(\lambda E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ と同じです。これが $\boldsymbol{0}$ でない解をもつ

$$\iff\lambda E-A\text{ が逆行列をもたない}\iff\det(\lambda E-A)=0$$

（逆行列があれば左からかけて $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ しか解がない。逆行列がなければ階数が $n$ より小さく、自由度が1以上あるので $\boldsymbol{0}$ でない解がある。）

② 固有値の和と積

$\det(\lambda E-A)$ を定義どおり展開すると、$\lambda^{n-1}$ の項は対角成分の積 $(\lambda-a_{11})\cdots(\lambda-a_{nn})$ からしか出ないので

$$\varphi_A(\lambda)=\lambda^n-(\mathrm{tr}\,A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det A$$

（定数項は $\lambda=0$ を入れて $\det(-A)=(-1)^n\det A$）。一方 $\varphi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n)$ なので、係数を比べると和が $\mathrm{tr}\,A$、積が $\det A$ です（解と係数の関係）。

③ 異なる固有値の固有ベクトルは1次独立

$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ が互いに異なり、$\boldsymbol{x}_i$ がそれぞれの固有ベクトルとします。$k$ についての帰納法で示します。$c_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}$ とすると、$A$ をかけた式から $\lambda_k$ 倍した式を引いて

$$c_1(\lambda_1-\lambda_k)\boldsymbol{x}_1+\cdots+c_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)\boldsymbol{x}_{k-1}=\boldsymbol{0}$$

帰納法の仮定から $c_i(\lambda_i-\lambda_k)=0$、$\lambda_i\neq\lambda_k$ なので $c_1=\cdots=c_{k-1}=0$。すると $c_k\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}$ で $c_k=0$。この性質が対角化の土台です。

大学院入試では

院試では、3次の行列の固有値・固有ベクトル（重解をふくむ）、$A^k$ や $A^{-1}$ の固有値、実数の固有値をもたない場合がよく出る形です。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1年の線形代数学の後半（行列式のあと）で学び、対角化・ジョルダン標準形・2次形式へ進みます。微分方程式・量子力学・統計（主成分分析）・グラフ理論など、ほかの授業でも何度も出てきます。
• 答案で示すこと：固有ベクトルには必ず「$\boldsymbol{0}$ でない」「$(s,t)\neq(0,0)$」などの条件をつけます。固有多項式は展開してから因数分解するより、行や列の操作で因数をくくり出す方がミスが少なくなります。
• 検算：固有値の和＝対角成分の和、積＝行列式。求めた固有ベクトルに $A$ をかけて $\lambda$ 倍になるかを確かめます。
• よくある出題の形：3次の行列の固有値・固有ベクトル、固有空間の次元、$A^k$・$A^{-1}$・$A+cE$ の固有値、$A^2=A$ や $A^k=O$ などの条件から固有値をしぼる問題。

よくある間違い

• $\boldsymbol{0}$ を固有ベクトルに入れる：$A\boldsymbol{0}=\lambda\boldsymbol{0}$ はどんな $\lambda$ でも成り立つので、固有ベクトルは $\boldsymbol{0}$ でないものに限ります。
• 重解の固有値で固有ベクトルを1本だけ答える：例題1の $\lambda=2$ のように、固有空間が2次元のことがあります。$(A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ の自由度を確かめます。
• 行基本変形をした行列の固有値を答える：行基本変形で行列式の0・非0は変わりませんが、固有値は変わります。固有値は $\det(\lambda E-A)$ から求めます。

練習問題

1. 大学院入試 $A=\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めなさい。
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   $\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)=0$。$\lambda=3$：$-2x+4y=0$ より $x=2y$。$\lambda=-1$：$2x+4y=0$ より $x=-2y$。答え 固有値 $3$ に $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$、固有値 $-1$ に $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$（それぞれ $0$ でない定数倍）
2. 大学院入試 $A^2=A$ をみたす正方行列 $A$ の固有値は、$0$ か $1$ しかないことを示しなさい。
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   $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$）とすると $A^2\boldsymbol{x}=\lambda A\boldsymbol{x}=\lambda^2\boldsymbol{x}$。$A^2=A$ より $\lambda^2\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$、$(\lambda^2-\lambda)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$。$\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ なので $\lambda(\lambda-1)=0$。答え $\lambda=0$ または $1$
3. 大学院入試 2次の正方行列 $A$ の固有値が $2$ と $-3$ のとき、$\mathrm{tr}\,A$、$\det A$、$A+E$ の固有値を求めなさい。
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   和 $2+(-3)=-1$、積 $-6$。$(A+E)\boldsymbol{x}=(\lambda+1)\boldsymbol{x}$ なので固有値は $1$ ずつ増える。答え $\mathrm{tr}\,A=-1$、$\det A=-6$、$A+E$ の固有値は $3,\ -2$

関連する公式

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よくある質問

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