ケーリー・ハミルトンの定理の公式｜A²−(a+d)A+(ad−bc)E＝Oの証明・Aⁿの求め方（割った余り）と例題【大学数学・東大京大レベル】

うかるくん

$A^{100}$ なんて、100回もかけ算しないといけないの？

合格先生

$A^2$ を $A$ と $E$ で書けるのがこの定理だ。$x^n$ を割った余り $px+q$ を求めれば、$A^n=pA+qE$ ですぐ出るぞ。

ケーリー・ハミルトンの定理（2次正方行列）

2次の正方行列 $A$ は、自分自身の「2次方程式」をいつでもみたします。$A^2$ を $A$ と $E$ で書きかえられるので、$A^n$ の計算が一気に楽になります。

なぜ成り立つのか（証明）

成分を計算して確かめます。

引くと、対角でない成分は消えて

移項すれば $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$。どんな $a,\ b,\ c,\ d$ でも成り立つ式です。

使い方のかなめ：次数を下げる。$A^2=(a+d)A-(ad-bc)E$ なので、$A^2$ は $A$ と $E$ で書けます。これをくり返すと、$A^n$ も必ず $pA+qE$ の形になります。

$p,\ q$ は、$x^n$ を $x^2-(a+d)x+(ad-bc)$ で割った余り $px+q$ から求められます（剰余の定理）。$x^n=\{x^2-(a+d)x+(ad-bc)\}Q(x)+px+q$ は $x$ の恒等式で、$A$ と $E$ はかけ算の順序を入れかえても同じなので、$x$ に $A$（定数には $E$）を入れてよく、$\{\ \}$ の部分が定理により $O$ になって $A^n=pA+qE$ となります。

大学受験での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

今の高校の学習指導要領では、行列は数学Cの「数学的な表現の工夫」で表現の道具としてふれる程度で、ケーリー・ハミルトンの定理は今の教科書の中心内容ではありません（以前の課程の数学Cでは、2次の行列とこの定理を学んでいました）。大学では線形代数で、一般の $n$ 次の正方行列について学ぶ定理です。

• 答案での使い方：2次の場合は、証明が成分の計算だけで数行なので、使う前に確かめておくと安全です。
• 逆は成り立たない：$A^2-pA+qE=O$ をみたしても、$p=a+d$、$q=ad-bc$ とは限りません（例題3の $A=kE$ の場合）。
• 漸化式とのつながり：2つの数列の連立漸化式 $a_{n+1}=pa_n+qb_n$、$b_{n+1}=ra_n+sb_n$ は行列で書け、$A^n$ を求めることは漸化式を解くことと同じです。行列を使わない問題でも、背景にこの考え方があることがあります。
• 検算：$A^n$ の答えに $n=1,\ 2$ を入れて、$A$、$A^2$ と一致するか確かめます。
• 難関大の入試では、この定理が背景になっている問題があります。

よくある間違い

合格先生

逆向きに使うな。$A^2-3A+2E=O$ でも、$a+d=3$ とは限らない。$A=kE$ の場合を忘れないようにしよう。

• 逆向きに使う：$A^2-3A+2E=O$ から、すぐに $a+d=3$、$ad-bc=2$ とするのは誤り。$A=kE$ の場合を落とさない。
• 数のように因数分解して決めつける：$(A-E)(A-2E)=O$ から「$A=E$ または $A=2E$」とはできない。行列では $XY=O$ でも $X=O$ や $Y=O$ とは限らない。
• 定数項の $E$ を忘れる：$A^2-5A+6=O$ は書きまちがい。行列と数は足せないので $6E$ と書く。

練習問題

合格先生

次数を下げる、これが行列の $n$ 乗のかなめだ。

1. 大学受験 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ について、$A^2=pA+qE$ となる実数 $p,\ q$ を求めなさい。
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   $a+d=5$、$ad-bc=4-6=-2$ より $A^2-5A-2E=O$、$A^2=5A+2E$。$A$ は $E$ の実数倍ではないので、$p,\ q$ はこの1組だけ。答え $p=5,\ q=2$
2. 大学受験 $A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}$ のとき、$A^{100}$ を求めなさい。
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   $a+d=1$、$ad-bc=1$ より $A^2-A+E=O$。両辺に左から $A+E$ をかけると $A^3+E=O$、$A^3=-E$、$A^6=E$。$100=6\cdot16+4$ より $A^{100}=A^4=A^3A=-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}$
3. 大学受験 $A=\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}$ のとき、$A^n$（$n$ は正の整数）を求めなさい。
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   $a+d=3$、$ad-bc=2$ より $A^2-3A+2E=O$。$x^n=(x-1)(x-2)Q(x)+px+q$ に $x=1,\ 2$ を入れて $p=2^n-1$、$q=2-2^n$。$A^n=pA+qE=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&1-2^n\\2^{n+1}-2&2-2^n\end{pmatrix}$

関連する公式

• 剰余の定理・因数定理（$x^n$ を割った余り）
• 漸化式の解き方
• 解と係数の関係
• 恒等式
• 二次方程式の解の公式
• ド・モアブルの定理（回転の行列の $n$ 乗）
• 固有値と固有ベクトル
• 行列の対角化

よくある質問

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