恒等式の解き方｜係数がすべて等しくなる理由の証明・係数比較法と数値代入法・部分分数分解と例題【数学Ⅱ・大学受験】

うかるくん

恒等式と方程式って、同じ等式なのにどこがちがうの？

合格先生

恒等式は、すべての $x$ で成り立つ等式だ。だから両辺の同じ次数の係数が等しくなるぞ。

恒等式とは

$x$ にどんな値を入れても成り立つ等式を、$x$ についての恒等式といいます。例：$(x+1)^2=x^2+2x+1$。方程式（特定の $x$ でだけ成り立つ）とのちがいに注意します。

証明：係数がすべて等しくなる理由

両辺を引いて $px^2+qx+r=0$（$p=a-a'$ など）がすべての $x$ で成り立つとします。

• $x=0$ を代入して $r=0$。
• 残りは $px^2+qx=x(px+q)=0$。$x\ne0$ のすべての $x$ で $px+q=0$ なので、$x=1,\ 2$ を入れて $p+q=0,\ 2p+q=0$。よって $p=0,\ q=0$。

つまり係数はすべて0で、$a=a',\ b=b',\ c=c'$。一般に、0でない $n$ 次式は0になる $x$ が最大 $n$ 個しかないので、$n+1$ 個以上の $x$ で等しい $n$ 次以下の式は、恒等式です。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

数値代入法で確かめをしないのは×だ。代入した値だけで成り立つのかもしれないぞ。

• 数値代入法で確かめをしない：代入した値でしか成り立たない可能性がある（必要条件）。最後に恒等式か確かめる。
• 方程式と混同する：恒等式は「すべての $x$」で成り立つ。

練習問題

合格先生

係数をくらべれば、すっきり解けるぞ。

1. 大学受験 $2x^2-x+3=a(x+1)^2+b(x+1)+c$ が恒等式になる $a,\ b,\ c$ を求めなさい。
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   $x=-1$ で $c=6$、$a=2$、$x=0$ で $3=2+b+6$、$b=-5$
2. 大学受験 $\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+1}$ となる $a,\ b$ を求めなさい。
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   $2=a(x+1)+b(x-1)$。$x=1$ で $a=1$、$x=-1$ で $b=-1$
3. 大学受験 $\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{9\cdot10}$ を求めなさい。
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   $1-\dfrac1{10}=\dfrac{9}{10}$

関連する公式

• 乗法公式（恒等式の例）
• 剰余の定理（割り算の等式は恒等式）
• Σ（シグマ）の公式
• 階差数列（打ち消し合う和）
• 二項定理

よくある質問

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