乗法公式（展開の公式）一覧｜(a+b)²・(a+b)(a−b) を面積の図で証明・計算のくふう・3乗の展開と例題【中学数学〜数学Ⅰ・受験】

乗法公式（展開の公式）一覧｜(a+b)²・(a+b)(a−b) を面積の図で証明・計算のくふう・3乗の展開と例題【中学数学〜数学Ⅰ・受験】

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高校受験大学受験

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2、(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

この公式のポイント

  • どれも分配法則で展開すれば出る
  • (a+b)2(a+b)^2 は 2ab2ab を忘れない（面積の図で長方形2つ）
  • 和と差の積 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2 は計算のくふうに
  • x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2=(x+y)^2-2xy は式の値でよく使う
うかるくん

うかるくん

(a+b)2(a+b)^2 って、そのまま a2+b2a^2+b^2 にしたらだめなの？

合格先生

合格先生

面積の図で考えよう。1辺 a+ba+b の正方形には長方形 abab が2つある。だから 2ab2ab が入るんだ。

乗法公式（展開の公式）

乗法公式

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)(a−b)=a2−b2(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\(a+b)(a-b)&=a^2-b^2\\(x+a)(x+b)&=x^2+(a+b)x+ab\end{aligned}

数学Ⅰ・Ⅱ では次も使う。

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\begin{aligned}(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\(a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{aligned}

証明：分配法則と、面積の図

どれも分配法則 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd で展開すれば出てきます。たとえば

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2
a²ababb²abab(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²
1辺 a+ba+b の正方形を4つに分けると、a2a^2、b2b^2 と、abab の長方形が2つ

面積で見ると、abab が2つあることが一目で分かります。「(a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2」というよくある間違いは、この2つの長方形を忘れたものです。

b²a²−b²→横 a＋bたてa−b(a＋b)(a−b)
1辺 aa の正方形から1辺 bb の正方形を取りのぞき、残りを切って並べかえると長方形になる

(a+b)(a−b)(a+b)(a-b) を展開すると a2−ab+ab−b2a^2-ab+ab-b^2 で、abab が打ち消し合って a2−b2a^2-b^2。図では、L字形の残りを切って並べかえると、たて a−ba-b、横 a+ba+b の長方形になります。

高校受験（中学数学）での使い方

乗法公式は中学3年で学びます。計算のくふうにも使えます。

高校受験

例題1（展開）

(x+3)(x−5)(x+3)(x-5) と (2x−3)2(2x-3)^2 を展開しなさい。

解き方

(x+3)(x−5)=x2+(3−5)x+3×(−5)=x2−2x−15(x+3)(x-5)=x^2+(3-5)x+3\times(-5)=x^2-2x-15。

(2x−3)2=4x2−12x+9(2x-3)^2=4x^2-12x+9。

答え　x2−2x−15x^2-2x-15、4x2−12x+94x^2-12x+9

高校受験

例題2（計算のくふう）

1032103^2 と 53×4753\times47 をくふうして計算しなさい。

解き方

1032=(100+3)2=10000+600+9=10609103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609。

53×47=(50+3)(50−3)=2500−9=249153\times47=(50+3)(50-3)=2500-9=2491。

答え　1060910609、24912491

大学受験（数学Ⅰ・Ⅱ）での使い方

大学受験

例題3（3乗と3文字）

(x+2)3(x+2)^3 と (a+b−c)2(a+b-c)^2 を展開しなさい。

解き方

(x+2)3=x3+6x2+12x+8(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8。

(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca。

答え　上のとおり

大学受験

例題4（式の値）

x+y=5x+y=5、xy=3xy=3 のとき、x2+y2x^2+y^2 の値を求めなさい。

解き方

(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 より、x2+y2=(x+y)2−2xy=25−6=19x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-6=19。

答え　1919

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

(2x)2=2x2(2x)^2=2x^2 とするのは×。2も2乗して 4x24x^2 になるぞ。

  • (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2 とする：2ab2ab を忘れている（図の長方形2つ）。
  • (a−b)2(a-b)^2 の符号：+b2+b^2（−b2-b^2 ではない）。
  • (2x)2=2x2(2x)^2=2x^2 とする：4x24x^2。

練習問題

○の札を持つうかるくん

うかるくん

どれも分配法則で展開すれば出るんだね。

  1. 高校受験 (x−4)2(x-4)^2 を展開しなさい。
    答えと解説を見るx2−8x+16x^2-8x+16
  2. 高校受験 98×10298\times102 をくふうして計算しなさい。
    答えと解説を見る(100−2)(100+2)=10000−4=9996(100-2)(100+2)=10000-4=9996
  3. 大学受験 x−1x=3x-\dfrac1x=3 のとき、x2+1x2x^2+\dfrac1{x^2} の値を求めなさい。
    答えと解説を見る(x−1x)2=x2−2+1x2\left(x-\dfrac1x\right)^2=x^2-2+\dfrac1{x^2} より 9+2=119+2=11。答え 1111

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よくある質問

乗法公式とは？

(a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b² など、よく出る式の展開結果をまとめた公式です。

(a+b)²=a²+b² はなぜまちがいですか？

1辺a+bの正方形を分けると、a²とb²のほかにabの長方形が2つあるからです。正しくは a²+2ab+b² です。

乗法公式は何年生で習いますか？

中学3年生です。(a+b)³ などは高校の数学Ⅱで学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第3学年（式の展開と因数分解）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦