階差数列の一般項の求め方｜aₙ＝a₁＋Σbₖ（k＝1〜n−1）の証明・n≧2とn＝1の確かめ・例題【数学B・大学受験】

階差数列の一般項の求め方｜aₙ＝a₁＋Σbₖ（k＝1〜n−1）の証明・n≧2とn＝1の確かめ・例題【数学B・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 数列・規則性

大学受験

an=a1+∑k=1n−1bk(n≥2)a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\ge2)

bn=an+1−anb_n=a_{n+1}-a_n。最後に n=1n=1 を確かめる

この公式のポイント

  • an=a1+∑k=1n−1bka_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k（n≥2n\ge2）
  • 理由：差を足すと間がすべて消える
  • Σ は n−1n-1 まで（階段は n−1n-1 段）
  • n=1n=1 の確かめを忘れない
うかるくん

うかるくん

階差数列の公式、Σが nn じゃなくて n−1n-1 までなのはなぜ？

合格先生

合格先生

a1a_1 から ana_n までの間に、差は n−1n-1 個しかないからだ。階段は n−1n-1 段だぞ。

階差数列の公式

数列 {an}\{a_n\} のとなりどうしの差 bn=an+1−anb_n=a_{n+1}-a_n を並べた数列を階差数列といいます。階差数列が分かれば、もとの数列の一般項が求められます。

階差数列と一般項

bn=an+1−an のときan=a1+∑k=1n−1bk(n≥2)b_n=a_{n+1}-a_n\ \text{のとき}\quad a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\ge2)

この式は n≥2n\ge2 で使える。最後に n=1n=1 のときも成り立つか確かめる。

1a₁2a₂5a₃10a₄17a₅26a₆13579となりの差（階差数列）bₙ＝2n−1
数列 1, 2, 5, 10, 17, 26 の階差は 1, 3, 5, 7, 9

証明：差を足すと、間がすべて消える

b1b_1 から bn−1b_{n-1} までを足すと、

∑k=1n−1bk=(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=an−a1\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}b_k&=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})\\&=a_n-a_1\end{aligned}

となりどうしが打ち消し合い、最後と最初だけが残ります。移項して an=a1+∑k=1n−1bka_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k。

a₁＝1a₂＝2a₃＝5a₄＝10a₅＝17a₅＝a₁＋(b₁＋b₂＋b₃＋b₄)＝1＋16＝17
ana_n は、a1a_1 の上に階差 b1, ⋯ , bn−1b_1,\ \cdots,\ b_{n-1} を積み上げた高さ

図のように、階段を1段上がるごとに bkb_k ずつ高くなります。ana_n までは n−1n-1 段なので、足すのは bn−1b_{n-1} まで（bnb_n までではない）。n=1n=1 のときは足すものがないので、別に確かめます。

大学受験（数学B）での使い方

大学受験

例題1（階差が等差数列）

数列 1, 2, 5, 10, 17, 26, … の一般項を求めなさい。

解き方

階差は 1, 3, 5, ⋯1,\ 3,\ 5,\ \cdots で bk=2k−1b_k=2k-1。n≥2n\ge2 のとき

an=1+∑k=1n−1(2k−1)=1+(n−1)2=n2−2n+2a_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=1+(n-1)^2=n^2-2n+2。

n=1n=1 のとき 1−2+2=11-2+2=1 で成り立つ。

答え　an=n2−2n+2a_n=n^2-2n+2

大学受験

例題2（階差が等比数列）

数列 2, 3, 5, 9, 17, … の一般項を求めなさい。

解き方

階差は 1, 2, 4, 8, ⋯1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots で bk=2k−1b_k=2^{k-1}。n≥2n\ge2 のとき

an=2+∑k=1n−12k−1=2+(2n−1−1)=2n−1+1a_n=2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=2+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}+1。n=1n=1 でも 22 で成り立つ。

答え　an=2n−1+1a_n=2^{n-1}+1

大学受験

例題3（漸化式）

a1=3a_1=3、an+1=an+4na_{n+1}=a_n+4n で定まる数列の一般項を求めなさい。

解き方

階差が bn=4nb_n=4n。n≥2n\ge2 で an=3+∑k=1n−14k=3+2n(n−1)=2n2−2n+3a_n=3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}4k=3+2n(n-1)=2n^2-2n+3。n=1n=1 で 33 となり成り立つ。

答え　an=2n2−2n+3a_n=2n^2-2n+3

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

Σを nn まで足すのは×だ。足すのは bn−1b_{n-1} までだぞ。

  • Σ\Sigma を nn までにする：足すのは bn−1b_{n-1} まで。
  • n=1n=1 の確かめを忘れる：式は n≥2n\ge2 で作ったもの。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

最後に n=1n=1 の確かめを忘れずにな。

  1. 大学受験 数列 3, 4, 6, 9, 13, … の一般項を求めなさい。
    答えと解説を見る階差 bk=kb_k=k。an=3+(n−1)n2=n2−n+62a_n=3+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n^2-n+6}{2}
  2. 大学受験 数列 1, 4, 13, 40, … （階差が 3, 9, 27, …）の一般項を求めなさい。
    答えと解説を見るan=1+3(3n−1−1)2=3n−12a_n=1+\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{2}=\dfrac{3^n-1}{2}
  3. 大学受験 a1=1a_1=1、an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2^n の一般項を求めなさい。
    答えと解説を見るan=1+(2n−2)=2n−1a_n=1+(2^n-2)=2^n-1

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よくある質問

階差数列とは？

数列のとなりどうしの差 aₙ₊₁−aₙ を並べた数列です。

階差数列から一般項を求める公式は？

n≧2のとき aₙ=a₁+Σ_{k=1}^{n−1}bₖ です。最後にn=1でも成り立つか確かめます。

なぜΣはn−1までなのですか？

a₁からaₙまでは差がn−1個あるからです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学B（数列）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦