等差×等比の数列の和｜S−rSをとる方法の証明・Σk·2^(k−1)=(n−1)2ⁿ+1・Σk/2^kの例題【数学B・大学受験】

等差×等比の数列の和の公式

$1\cdot1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots$ のように、等差数列（$1,2,3,\dots$）と等比数列（$1,2,2^2,\dots$）をかけた数列の和は、そのままでは 等比数列の和 の公式も Σの公式 も使えません。和 $S$ から $rS$ を引くと、等比数列の和にもちこめます。

証明（S−rS をとる）

$S=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}$ の両辺に $r$ をかけ、1つ右にずらして書きます。

$$\begin{aligned}S&=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}\\rS&=\phantom{1+{}}r+2r^2+\cdots+(n-1)r^{n-1}+nr^n\end{aligned}$$

上から下を引くと、たてにならんだ項はどれも係数の差が1なので、

$$(1-r)S=\underbrace{1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}}_{n\text{ 個}}-nr^n=\frac{1-r^n}{1-r}-nr^n$$

両辺を $1-r$ でわって通分すると

$$S=\frac{1-r^n-nr^n(1-r)}{(1-r)^2}=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}$$

$r=2$ なら $S-2S=(2^n-1)-n\cdot2^n$ より $-S=-(n-1)2^n-1$、つまり $S=(n-1)2^n+1$ です。

ポイント：$r$ をかけるのは、等比の部分の公比です。ずらすと「等差の部分」が差をとって一定（公差）になり、等比数列だけが残ります。$a_k=(ak+b)r^{k-1}$ のような一般の等差×等比でも、同じ手順で計算できます。

別の証明：階段に並べかえる

$k\cdot2^{k-1}$ は「$2^{k-1}$ が $k$ 個」です。上の図のように階段に並べ、横に足すと、$j$ 行目は $2^{j-1}+2^j+\cdots+2^{n-1}=2^n-2^{j-1}$。これを $j=1$ から $n$ まで足すと

$$S=n\cdot2^n-(1+2+\cdots+2^{n-1})=n\cdot2^n-(2^n-1)=(n-1)2^n+1$$

同じ答えになりました。たてと横で足す順番を変えるだけの、図で見える証明です。

大学受験（数学B）での使い方

よくある間違い

• 最後の項を忘れる：ずらすと $rS$ の最後の項 $nr^n$ がはみ出します。引くときに$-nr^n$ を忘れないこと。
• 等比数列の項数をまちがえる：例題2のように先頭の項だけ係数がちがうことがあります。どこからどこまでが等比数列か、項数は何個かを確かめます。
• $r=1$ でもこの式を使う：$1-r=0$ でわれません。$r=1$ なら $\sum k=\dfrac{n(n+1)}{2}$（ただの等差数列の和）です。

練習問題

1. 大学受験 $\sum_{k=1}^{5}k\cdot2^{k-1}$ の値は？
   答えと解説を見る

   $(5-1)\cdot2^5+1=129$。確かめ：$1+4+12+32+80=129$
2. 大学受験 $S_n=\sum_{k=1}^{n}k\cdot3^{k}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $S-3S=(3+3^2+\cdots+3^n)-n\cdot3^{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}-n\cdot3^{n+1}$。これが $-2S$ なので、$-2$ でわって $S_n=\dfrac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}$（$n=2$ で $3+18=21$）
3. 大学受験 $S_n=\sum_{k=1}^{n}(3k-2)\cdot2^{k-1}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $S-2S=1+3(2+2^2+\cdots+2^{n-1})-(3n-2)2^n=1+3(2^n-2)-(3n-2)2^n$。整理して $S_n=(3n-5)\cdot2^n+5$（$n=3$ で $1+8+28=37$）

関連する公式

• 等比数列の和の公式（証明が同じ「ずらして引く」）
• 等差数列の和の公式
• Σの公式
• 階差数列
• 数列の極限（無限級数 Σk/2^k＝2）
• 漸化式

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）