対称行列の直交対角化の公式｜PᵀAP=Dと2次形式の標準形・固有値が実数になる証明と例題【大学院入試・線形代数】

対称行列の直交対角化の公式｜PᵀAP=Dと2次形式の標準形・固有値が実数になる証明と例題【大学院入試・線形代数】

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大学院入試

A⊤=A ⟹ P⊤AP=(λ1⋱λn) (P⊤P=E),x⊤Ax=∑i=1nλiyi 2A^{\top}=A\ \Longrightarrow\ P^{\top}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\ (P^{\top}P=E),\qquad\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iy_i^{\,2}

PP は長さ1の固有ベクトルを互いに直交するように並べた直交行列、x=Py\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}

この公式のポイント

  • 実対称行列の固有値はすべて実数
  • 異なる固有値の固有ベクトルは直交する
  • 直交行列 PP で P⊤AP=DP^{\top}AP=D（P−1=P⊤P^{-1}=P^{\top}）
  • 2次形式は∑λiyi 2\sum\lambda_iy_i^{\,2} に。∣x∣=1|\boldsymbol{x}|=1 での最大・最小は固有値
うかるくん

うかるくん

対称行列の対角化って、ふつうの対角化と何がちがうの？

合格先生

合格先生

固有ベクトルを長さ1で直交するように並べるんだ。すると PP は直交行列になり、P−1P^{-1} の代わりに P⊤P^{\top} が使えるぞ。

対称行列の性質と直交対角化

A⊤=AA^{\top}=A をみたす行列を対称行列といいます。実数の対称行列は、どんなときでも直交行列（向きをそろえた回転・折り返し）で対角化できます。これを使うと、2次形式（x2, xy, y2x^2,\ xy,\ y^2 などの2次の項だけの式）を平方の和に直せます。

実対称行列の直交対角化（スペクトル定理）

AA を nn 次の実対称行列（A⊤=AA^{\top}=A）とすると

  • 固有値はすべて実数
  • 異なる固有値の固有ベクトルは直交する
  • 直交行列 PP（P⊤P=EP^{\top}P=E、つまり P−1=P⊤P^{-1}=P^{\top}）で対角化できる：
P⊤AP=(λ1⋱λn)P^{\top}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}

2次形式の標準形：x=Py\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} と変数を変えると

x⊤Ax=λ1y1 2+λ2y2 2+⋯+λnyn 2\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{x}=\lambda_1y_1^{\,2}+\lambda_2y_2^{\,2}+\cdots+\lambda_ny_n^{\,2}

∣x∣=1|\boldsymbol{x}|=1 のとき、x⊤Ax\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{x} の最大値は最大の固有値、最小値は最小の固有値。すべての固有値が正   ⟺  \iff 2次形式が正定値（x≠0\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0} なら正）。

xyXY1√65x²＋4xy＋2y²＝6↓ 主軸に回転6X²＋Y²＝6X 軸：(2,1) の向き固有値 6Y 軸：(−1,2) の向き固有値 1
5x2+4xy+2y2=65x^2+4xy+2y^2=6 は、固有ベクトルの向きを軸にとると 6X2+Y2=66X^2+Y^2=6 の楕円（例題2）

なぜ成り立つのか（証明）

① 固有値は実数

Ax=λxA\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}（x≠0\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}、成分は複素数でもよい）とし、xˉ\bar{\boldsymbol{x}} を成分の共役複素数とします。xˉ⊤Ax=λ xˉ⊤x\bar{\boldsymbol{x}}^{\top}A\boldsymbol{x}=\lambda\,\bar{\boldsymbol{x}}^{\top}\boldsymbol{x}。一方、AA は実数で対称なので Ax‾=Axˉ=λˉxˉ\overline{A\boldsymbol{x}}=A\bar{\boldsymbol{x}}=\bar\lambda\bar{\boldsymbol{x}} で、

xˉ⊤Ax=(A⊤xˉ)⊤x=(Axˉ)⊤x=λˉ xˉ⊤x\bar{\boldsymbol{x}}^{\top}A\boldsymbol{x}=(A^{\top}\bar{\boldsymbol{x}})^{\top}\boldsymbol{x}=(A\bar{\boldsymbol{x}})^{\top}\boldsymbol{x}=\bar\lambda\,\bar{\boldsymbol{x}}^{\top}\boldsymbol{x}

xˉ⊤x=∣x1∣2+⋯+∣xn∣2>0\bar{\boldsymbol{x}}^{\top}\boldsymbol{x}=|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2>0 なので λ=λˉ\lambda=\bar\lambda、つまり λ\lambda は実数です。

② 異なる固有値の固有ベクトルは直交

Ax1=λ1x1A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1、Ax2=λ2x2A\boldsymbol{x}_2=\lambda_2\boldsymbol{x}_2、λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2 とします。内積を (u,v)=u⊤v(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\boldsymbol{u}^{\top}\boldsymbol{v} と書くと、A⊤=AA^{\top}=A より

λ1(x1,x2)=(Ax1,x2)=x1⊤A⊤x2=(x1,Ax2)=λ2(x1,x2)\lambda_1(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=(A\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{x}_1^{\top}A^{\top}\boldsymbol{x}_2=(\boldsymbol{x}_1,A\boldsymbol{x}_2)=\lambda_2(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)

(λ1−λ2)(x1,x2)=0(\lambda_1-\lambda_2)(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=0 で λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2 なので、(x1,x2)=0(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=0。

③ 直交行列で対角化できる（次数についての帰納法・略証）

①より実数の固有値 λ1\lambda_1 と、長さ1の実の固有ベクトル p1\boldsymbol{p}_1 がとれます。p1\boldsymbol{p}_1 を含む正規直交基底 p1,q2,⋯ ,qn\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{q}_2,\cdots,\boldsymbol{q}_n をグラム・シュミットの直交化で作り、並べた直交行列を P1P_1 とします。P1⊤AP1P_1^{\top}AP_1 は対称で、第1列は P1⊤(λ1p1)=λ1e1P_1^{\top}(\lambda_1\boldsymbol{p}_1)=\lambda_1\boldsymbol{e}_1 なので

P1⊤AP1=(λ10⊤0A1)(A1 は n−1 次の実対称行列)P_1^{\top}AP_1=\begin{pmatrix}\lambda_1&\boldsymbol{0}^{\top}\\\boldsymbol{0}&A_1\end{pmatrix}\quad(A_1\text{ は }n-1\text{ 次の実対称行列})

A1A_1 に帰納法の仮定を使って直交行列 Q1Q_1 で対角化し、P=P1(10⊤0Q1)P=P_1\begin{pmatrix}1&\boldsymbol{0}^{\top}\\\boldsymbol{0}&Q_1\end{pmatrix} とすれば、PP は直交行列で P⊤APP^{\top}AP は対角行列です。

④ 2次形式の標準形と最大・最小

x=Py\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} とおくと x⊤Ax=y⊤(P⊤AP)y=∑λiyi 2\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^{\top}(P^{\top}AP)\boldsymbol{y}=\sum\lambda_iy_i^{\,2}。また ∣x∣2=y⊤P⊤Py=∣y∣2|\boldsymbol{x}|^2=\boldsymbol{y}^{\top}P^{\top}P\boldsymbol{y}=|\boldsymbol{y}|^2（直交行列は長さを変えない）。∣y∣=1|\boldsymbol{y}|=1 のもとで λmin⁡≤∑λiyi 2≤λmax⁡\lambda_{\min}\le\sum\lambda_iy_i^{\,2}\le\lambda_{\max} で、等号は y\boldsymbol{y} をその固有値の方向にとったときに成り立ちます。

1234560°90°180°最大 6（θ≒26.6°）＝最大の固有値最小 1 ＝最小の固有値θ≒116.6°θQQ＝5x²＋4xy＋2y²、(x, y)＝(cosθ, sinθ)
単位円上で Q=5x2+4xy+2y2Q=5x^2+4xy+2y^2 を動かすと、最大値・最小値は固有値 66、11（例題2の行列）

大学院入試では

院試では、3次の対称行列の直交対角化（重解の固有空間でのグラム・シュミット）、2次曲線の標準形、球面上の2次形式の最大・最小がよく出る形です。

大学院入試

例題1（3次の直交対角化）

A=(211121112)A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix} を直交行列で対角化しなさい。

解き方

det⁡(λE−A)=(λ−1)2(λ−4)\det(\lambda E-A)=(\lambda-1)^2(\lambda-4)（A−EA-E の3行がすべて (1,1,1)(1,1,1) になることからもわかる）。固有値は 44 と 11（重解）。

λ=4\lambda=4：(1,1,1)(1,1,1)。長さ1にして 13(1,1,1)\dfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1)。

λ=1\lambda=1：固有空間は x+y+z=0x+y+z=0（2次元）。(1,−1,0)(1,-1,0) をとり、これに直交する (1,1,−2)(1,1,-2) をとる（グラム・シュミット）。長さ1にして 12(1,−1,0)\dfrac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)、16(1,1,−2)\dfrac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)。

3本は互いに直交し長さ1なので、並べた PP は直交行列。

答え　P=(13121613−1216130−26),P⊤AP=(400010001)P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\\frac{1}{\sqrt3}&0&-\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix},\quad P^{\top}AP=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

大学院入試

例題2（2次曲線の標準形）

曲線 5x2+4xy+2y2=65x^2+4xy+2y^2=6 はどんな図形か答えなさい。

解き方

5x2+4xy+2y2=(xy)(5222)(xy)5x^2+4xy+2y^2=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}。det⁡(λE−A)=λ2−7λ+6=(λ−1)(λ−6)\det(\lambda E-A)=\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6)。

λ=6\lambda=6：(2,1)(2,1)、λ=1\lambda=1：(−1,2)(-1,2)（直交している）。長さ1にして並べ、(xy)=15(2−112)(XY)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} とおく（回転）と、6X2+Y2=66X^2+Y^2=6、つまり X2+Y26=1X^2+\dfrac{Y^2}{6}=1。

答え　主軸が (2,1)(2,1)、(−1,2)(-1,2) の向きで、その方向の半径がそれぞれ 11、6\sqrt6 の楕円

大学院入試

例題3（球面上の最大・最小）

x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 のとき、Q=2x2+2y2+2z2+2xy+2yz+2zxQ=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx の最大値と最小値を求めなさい。

解き方

Q=x⊤AxQ=\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{x}、AA は例題1の行列（xyxy の係数 22 を (1,2)(1,2) 成分と (2,1)(2,1) 成分に 11 ずつ分ける）。

例題1の PP で x=Py\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} とすると Q=4y1 2+y2 2+y3 2Q=4y_1^{\,2}+y_2^{\,2}+y_3^{\,2}、条件は y1 2+y2 2+y3 2=1y_1^{\,2}+y_2^{\,2}+y_3^{\,2}=1。よって Q=1+3y1 2Q=1+3y_1^{\,2} で、1≤Q≤41\le Q\le4。

最大は y1=±1y_1=\pm1、つまり (x,y,z)=±13(1,1,1)(x,y,z)=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1)。最小は y1=0y_1=0、つまり x+y+z=0x+y+z=0 をみたす長さ1のベクトル。

答え　最大値 44、最小値 11

学部の授業とのつながり・院試での注意

  • どの授業で習うか：大学1年の線形代数学の後半で、内積・グラム・シュミットのあとに学ぶことが多い内容です。多変数関数の極値（ヘッセ行列の正定値）、統計の主成分分析、力学の慣性主軸などで使います。
  • 答案で示すこと：PP の列が互いに直交し、長さが1であること。重解の固有値では、固有空間から選んだ2本が直交していないことが多いので、グラム・シュミットで直してから並べます。P−1P^{-1} の代わりに P⊤P^{\top} が使えるのが、ふつうの対角化との違いです。
  • 2次形式の係数：xyxy の係数は、行列の (1,2)(1,2) 成分と (2,1)(2,1) 成分に半分ずつ分けて対称行列にします。
  • よくある出題の形：直交行列による対角化、2次曲線・2次曲面の分類（楕円・双曲線など）、条件 ∣x∣=1|\boldsymbol{x}|=1 のもとでの最大・最小、正定値になる条件、固有値が実数であることや固有ベクトルの直交性の証明。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

xyxy の係数をそのまま行列に入れるのは誤りだ。(1,2)(1,2) 成分と (2,1)(2,1) 成分に半分ずつ分けよう。

  • 固有ベクトルの長さを1にしない：長さ1にしないと PP は直交行列にならず、P⊤APP^{\top}AP は対角行列になりません。
  • xyxy の係数をそのまま行列に入れる：5x2+4xy+2y25x^2+4xy+2y^2 の行列は (5402)\begin{pmatrix}5&4\\0&2\end{pmatrix} や (5442)\begin{pmatrix}5&4\\4&2\end{pmatrix} ではなく、44 を半分ずつ分けた (5222)\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix} です。
  • 重解の固有空間で直交していない2本を並べる：例題1の (1,−1,0)(1,-1,0) と (1,0,−1)(1,0,-1) はどちらも固有ベクトルですが直交していません。そのまま並べると直交行列になりません。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

重解の固有空間ではグラム・シュミットで直交させるのだ。

  1. 大学院入試 A=(1221)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} を直交行列で対角化しなさい。
    答えと解説を見る固有値は λ2−2λ−3=0\lambda^2-2\lambda-3=0 より 3, −13,\ -1。固有ベクトル (1,1)(1,1)、(1,−1)(1,-1) を長さ1にして並べる。答え P=12(111−1),P⊤AP=(300−1)P=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad P^{\top}AP=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}
  2. 大学院入試 2次形式 2x2+2kxy+2y22x^2+2kxy+2y^2 が正定値になる kk の範囲を求めなさい。
    答えと解説を見る行列は (2kk2)\begin{pmatrix}2&k\\k&2\end{pmatrix} で、固有値は (λ−2)2=k2(\lambda-2)^2=k^2 より 2+k, 2−k2+k,\ 2-k。両方正なら正定値。答え −2<k<2-2<k<2
  3. 大学院入試 曲線 3x2+2xy+3y2=83x^2+2xy+3y^2=8 を、回転して標準形に直しなさい。
    答えと解説を見る行列 (3113)\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix} の固有値は 44（(1,1)(1,1)）と 22（(1,−1)(1,-1)）。4X2+2Y2=84X^2+2Y^2=8。答え X22+Y24=1\dfrac{X^2}{2}+\dfrac{Y^2}{4}=1（(1,1)(1,1) の向きに半径 2\sqrt2、(1,−1)(1,-1) の向きに半径 22 の楕円）

関連する公式

よくある質問

実対称行列はいつでも対角化できますか？

はい。実数の対称行列は、直交行列Pを使って PᵀAP を対角行列にできます（スペクトル定理）。固有値に重解があってもできます。

なぜ対称行列の固有値は実数なのですか？

Ax＝λx のとき、x̄ᵀAx を2通りに計算すると λ|x|² と λ̄|x|² になり、λ＝λ̄ が出るからです。

2次形式の標準形とは？

2次形式 xᵀAx を、直交行列による変数変換 x＝Py で λ1y1²＋λ2y2²＋… のように平方の和だけの形に直したものです。係数は A の固有値です。

2次形式が正定値になる条件は？

対称行列 A の固有値がすべて正であることです。このとき 0 でないすべての x で xᵀAx＞0 となります。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 大学初年級の線形代数学（範囲外の発展内容）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦