2次曲線の公式｜放物線 y²＝4px・楕円・双曲線の標準形と焦点、焦点の性質から式を導く証明と例題【数学C・大学受験】

2次曲線の公式

$x,\ y$ の2次方程式で表される曲線（放物線・楕円・双曲線）を2次曲線といいます。どれも「焦点」とよばれる点からの距離で定義でき、そこから標準形の式が導けます。

証明：焦点の性質から標準形を導く

①放物線　焦点 $F(p,\ 0)$ と準線 $x=-p$ から等しい距離にある点 $P(x,\ y)$ を考えます。$PF=\sqrt{(x-p)^2+y^2}$、準線までの距離 $PH=|x+p|$。$PF=PH$ の両辺を2乗して

$$(x-p)^2+y^2=(x+p)^2\iff x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2\iff y^2=4px$$

②楕円　焦点を $F(c,\ 0)$、$F'(-c,\ 0)$（$c>0$）とし、$PF+PF'=2a$（$a>c$）をみたす点 $P(x,\ y)$ を考えます。

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$

両辺を2乗して整理すると $a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx$。もう一度2乗すると

$$\begin{aligned}a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)&=a^4-2a^2cx+c^2x^2\\(a^2-c^2)x^2+a^2y^2&=a^2(a^2-c^2)\end{aligned}$$

$b^2=a^2-c^2$（$b>0$）とおき、両辺を $a^2b^2$ で割ると $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。焦点は $c=\sqrt{a^2-b^2}$ です。

（逆も成り立つ）　楕円上の点では $y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$ なので

$$PF^2=(x-c)^2+y^2=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=\left(a-\frac cax\right)^2$$

$|x|\le a$ より $a-\dfrac cax>0$ で $PF=a-\dfrac cax$。同じく $PF'=a+\dfrac cax$。たすと $PF+PF'=2a$。

③双曲線　$|PF-PF'|=2a$（$0<a<c$）でも、同じように2回2乗すると $(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$ が出ます。こんどは $a^2-c^2<0$ なので $b^2=c^2-a^2$ とおくと $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2$、つまり $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。焦点は $c=\sqrt{a^2+b^2}$ です。

漸近線　$y=\pm\dfrac bax\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}$ と変形でき、$|x|$ が大きくなると $\sqrt{\ \ }$ の中は1に近づくので、曲線は直線 $y=\pm\dfrac bax$ に限りなく近づきます。

大学受験（数学C）での使い方

よくある間違い

• 楕円と双曲線で $c$ の求め方を逆にする：楕円は $c^2=a^2-b^2$（ひく）、双曲線は $c^2=a^2+b^2$（たす）。
• $y^2=4px$ の $p$ を係数そのものとする：$y^2=8x$ の焦点は $(8,\ 0)$ ではなく、$4p=8$ より $(2,\ 0)$。
• 楕円で $b>a$ のときも焦点を $x$ 軸上にする：$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1$ のように $y^2$ の分母が大きければ、焦点は $y$ 軸上の $(0,\ \pm4)$。

練習問題

1. 大学受験 焦点が $(3,\ 0)$、準線が $x=-3$ の放物線の方程式は？
   答えと解説を見る

   $p=3$ なので $y^2=12x$
2. 大学受験 2点 $(3,\ 0)$、$(-3,\ 0)$ からの距離の和が 10 である点の軌跡の方程式は？
   答えと解説を見る

   $2a=10$ で $a=5$、$c=3$、$b^2=25-9=16$。$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$
3. 大学受験 2点 $(5,\ 0)$、$(-5,\ 0)$ からの距離の差が 6 である点の軌跡の方程式は？
   答えと解説を見る

   $2a=6$ で $a=3$、$c=5$、$b^2=25-9=16$。$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$

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