この公式のポイント
円は x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ 消去は cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 サイクロイドは OT＝弧TP＝a θ a\theta a θ から d y d x = d y / d t d x / d t \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} d x d y = d x / d t d y / d t y y y このページの内容
媒介変数表示の公式 証明 大学受験（数学C・数学Ⅲ）での使い方 よくある間違い 練習問題 関連する公式 よくある質問 うかるくん
サイクロイドは y y y x x x
合格先生
出せるぞ。d y d t \dfrac{dy}{dt} d t d y d x d t \dfrac{dx}{dt} d t d x x x x
媒介変数表示の公式
x x x y y y t t t θ \theta θ x = f ( t ) x=f(t) x = f ( t ) y = g ( t ) y=g(t) y = g ( t ) 媒介変数表示 （パラメータ表示）といいます。t t t 媒介変数 といい、t t t ( x , y ) (x,\ y) ( x , y )
代表的な媒介変数表示と微分
円 x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x 2 + y 2 = r 2 x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ 楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 x = a cos θ , y = b sin θ x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta x = a cos θ , y = b sin θ サイクロイド ：x = a ( θ − sin θ ) , y = a ( 1 − cos θ ) x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta) x = a ( θ − sin θ ) , y = a ( 1 − cos θ ) 媒介変数で表された関数の微分 （d x d t ≠ 0 \dfrac{dx}{dt}\ne0 d t d x = 0
d y d x = d y d t d x d t \frac{dy}{dx}=\frac{\ \dfrac{dy}{dt}\ }{\dfrac{dx}{dt}} d x d y = d t d x d t d y θ P r r cosθ r sinθ O x y x＝r cosθ y＝r sinθ cos²θ＋sin²θ＝1 より x²＋y²＝r² 円周上の点 P は ( r cos θ , r sin θ ) (r\cos\theta,\ r\sin\theta) ( r cos θ , r sin θ ) 証明
①円 図1で、O P = r OP=r OP = r O P OP OP x x x θ \theta θ 三角比の定義 から x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2 x^2+y^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2 x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2 円の方程式 をみたします。楕円は円を x x x a a a y y y b b b ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \left(\dfrac xa\right)^2+\left(\dfrac yb\right)^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 ( a x ) 2 + ( b y ) 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1
②サイクロイド 半径 a a a x x x θ \theta θ
O T = 弧 T P = a θ OT=\text{弧}\,TP=a\theta OT = 弧 TP = a θ よって中心は C ( a θ , a ) C(a\theta,\ a) C ( a θ , a ) C P → \overrightarrow{CP} CP C T → \overrightarrow{CT} CT θ \theta θ C P → = ( − a sin θ , − a cos θ ) \overrightarrow{CP}=(-a\sin\theta,\ -a\cos\theta) CP = ( − a sin θ , − a cos θ )
P = ( a θ − a sin θ , a − a cos θ ) = ( a ( θ − sin θ ) , a ( 1 − cos θ ) ) P=\big(a\theta-a\sin\theta,\ a-a\cos\theta\big)=\big(a(\theta-\sin\theta),\ a(1-\cos\theta)\big) P = ( a θ − a sin θ , a − a cos θ ) = ( a ( θ − sin θ ) , a ( 1 − cos θ ) ) θ C P T O 2πa OT＝aθ サイクロイド 赤い弧TP＝aθ（すべらない） サイクロイド：転がった長さ OT と弧 TP がどちらも a θ a\theta a θ ③微分の公式 d x d t ≠ 0 \dfrac{dx}{dt}\ne0 d t d x = 0 x = f ( t ) x=f(t) x = f ( t ) t t t x x x y y y t t t x x x d t d x = 1 d x / d t \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{\ dx/dt\ } d x d t = d x / d t 1
d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t ⋅ 1 d x d t = d y d t d x d t \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{1}{\ \dfrac{dx}{dt}\ }=\frac{\ \dfrac{dy}{dt}\ }{\dfrac{dx}{dt}} d x d y = d t d y ⋅ d x d t = d t d y ⋅ d t d x 1 = d t d x d t d y y y y x x x
(4, 8) O t＝1 t＜0 の部分 接線 y＝3x−4 dx/dt＝2t、dy/dt＝3t² dy/dx＝3t/2 → t＝2 で 3 x = t 2 , y = t 3 x=t^2,\ y=t^3 x = t 2 , y = t 3 t = 2 t=2 t = 2 3 t 2 2 t = 3 \dfrac{3t^2}{2t}=3 2 t 3 t 2 = 3 大学受験（数学C・数学Ⅲ）での使い方
大学受験 例題1（媒介変数を消去する）
x = 2 cos t + 1 x=2\cos t+1 x = 2 cos t + 1 、
y = 2 sin t − 3 y=2\sin t-3 y = 2 sin t − 3 はどんな曲線を表すか。
解き方
cos t = x − 1 2 \cos t=\dfrac{x-1}{2} cos t = 2 x − 1 sin t = y + 3 2 \sin t=\dfrac{y+3}{2} sin t = 2 y + 3 cos 2 t + sin 2 t = 1 \cos^2t+\sin^2t=1 cos 2 t + sin 2 t = 1 ( x − 1 ) 2 4 + ( y + 3 ) 2 4 = 1 \dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y+3)^2}{4}=1 4 ( x − 1 ) 2 + 4 ( y + 3 ) 2 = 1
答え ( x − 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 (x-1)^2+(y+3)^2=4 ( x − 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 ( 1 , − 3 ) (1,\ -3) ( 1 , − 3 )
大学受験 例題2（サイクロイドの接線）
サイクロイド
x = a ( θ − sin θ ) x=a(\theta-\sin\theta) x = a ( θ − sin θ ) 、
y = a ( 1 − cos θ ) y=a(1-\cos\theta) y = a ( 1 − cos θ ) （
a > 0 a>0 a > 0 ）の、
θ = π 2 \theta=\dfrac{\pi}{2} θ = 2 π に対応する点での接線の方程式を求めなさい。
解き方
d x d θ = a ( 1 − cos θ ) \dfrac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta) d θ d x = a ( 1 − cos θ ) d y d θ = a sin θ \dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta d θ d y = a sin θ d y d x = sin θ 1 − cos θ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta} d x d y = 1 − cos θ sin θ
θ = π 2 \theta=\dfrac{\pi}{2} θ = 2 π 1 1 − 0 = 1 \dfrac{1}{1-0}=1 1 − 0 1 = 1 ( a ( π 2 − 1 ) , a ) \left(a\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right),\ a\right) ( a ( 2 π − 1 ) , a )
y − a = x − a ( π 2 − 1 ) y-a=x-a\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right) y − a = x − a ( 2 π − 1 ) y = x + ( 2 − π 2 ) a y=x+\left(2-\dfrac{\pi}{2}\right)a y = x + ( 2 − 2 π ) a
答え y = x + ( 2 − π 2 ) a y=x+\left(2-\dfrac{\pi}{2}\right)a y = x + ( 2 − 2 π ) a
大学受験 例題3（接線の傾き）
x = t 2 x=t^2 x = t 2 、
y = t 3 y=t^3 y = t 3 で表される曲線の、
t = 2 t=2 t = 2 に対応する点での接線の方程式を求めなさい。
解き方
d x d t = 2 t \dfrac{dx}{dt}=2t d t d x = 2 t d y d t = 3 t 2 \dfrac{dy}{dt}=3t^2 d t d y = 3 t 2 d y d x = 3 t 2 2 t = 3 t 2 \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2} d x d y = 2 t 3 t 2 = 2 3 t t ≠ 0 t\ne0 t = 0
t = 2 t=2 t = 2 ( 4 , 8 ) (4,\ 8) ( 4 , 8 ) y − 8 = 3 ( x − 4 ) y-8=3(x-4) y − 8 = 3 ( x − 4 )
答え y = 3 x − 4 y=3x-4 y = 3 x − 4
よくある間違い
合格先生
d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y y y y d y d t \dfrac{dy}{dt} d t d y
分子と分母を逆にする ：d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y y y y x x x d y d t \dfrac{dy}{dt} d t d y 消去したあとの範囲を忘れる ：x = t 2 x=t^2 x = t 2 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 x = cos t x=\cos t x = cos t − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le1 − 1 ≤ x ≤ 1 d x d t = 0 \dfrac{dx}{dt}=0 d t d x = 0 x = t 2 x=t^2 x = t 2 t = 0 t=0 t = 0 練習問題
サクラちゃん
消去したら x x x
大学受験 x = 3 cos θ x=3\cos\theta x = 3 cos θ y = 2 sin θ y=2\sin\theta y = 2 sin θ θ \theta θ 答えと解説を見る cos θ = x 3 \cos\theta=\dfrac x3 cos θ = 3 x sin θ = y 2 \sin\theta=\dfrac y2 sin θ = 2 y x 2 9 + y 2 4 = 1 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 9 x 2 + 4 y 2 = 1 大学受験 x = t + 1 x=t+1 x = t + 1 y = t 2 − 2 t y=t^2-2t y = t 2 − 2 t t t t 答えと解説を見る t = x − 1 t=x-1 t = x − 1 y = ( x − 1 ) 2 − 2 ( x − 1 ) = x 2 − 4 x + 3 y=(x-1)^2-2(x-1)=x^2-4x+3 y = ( x − 1 ) 2 − 2 ( x − 1 ) = x 2 − 4 x + 3 大学受験 x = cos 3 t x=\cos^3t x = cos 3 t y = sin 3 t y=\sin^3t y = sin 3 t d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y t t t 答えと解説を見る d x d t = − 3 cos 2 t sin t \dfrac{dx}{dt}=-3\cos^2t\sin t d t d x = − 3 cos 2 t sin t d y d t = 3 sin 2 t cos t \dfrac{dy}{dt}=3\sin^2t\cos t d t d y = 3 sin 2 t cos t d y d x = − sin t cos t = − tan t \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\sin t}{\cos t}=-\tan t d x d y = − cos t sin t = − tan t 関連する公式
よくある質問 媒介変数表示とは何ですか？ xとyを別の変数（tやθ）の式で表す表し方です。tを動かすと点(x, y)が動いて曲線をえがきます。動く点の位置を時刻で表すイメージです。
サイクロイドとはどんな曲線？ 円が直線の上をすべらずに転がるとき、円周上の1点がえがく曲線です。半径aの円なら x=a(θ−sinθ)、y=a(1−cosθ) と表せます。
媒介変数で表された関数の微分はどうするの？ dy/dtをdx/dtで割ります。yをxの式に直さなくても、接線の傾きが求められます。ただしdx/dtが0の点では使えません。
あわせて読みたい 出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（平面上の曲線と複素数平面）・数学Ⅲ（微分法） 最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
