極座標と極方程式の公式｜x＝r cosθ の変換・円 r＝2a cosθ と直線 r cos(θ−α)＝p の証明と例題【数学C・大学受験】

極座標と極方程式の公式｜x＝r cosθ の変換・円 r＝2a cosθ と直線 r cos(θ−α)＝p の証明と例題【数学C・大学受験】

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大学受験

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r=x2+y2x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}

円：r=2acos⁡θr=2a\cos\theta　直線：rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p

この公式のポイント

  • x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta で変換
  • θ\theta は cos⁡θ\cos\theta、sin⁡θ\sin\theta の符号で象限を確かめる
  • r=2acos⁡θr=2a\cos\theta は中心 (a, 0)(a,\ 0)、半径 aa の円
  • 直線は rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p
うかるくん

うかるくん

直交座標を極座標に直すとき、θ\theta はどうやって決めるの？

合格先生

合格先生

cos⁡θ\cos\theta と sin⁡θ\sin\theta の符号で象限を確かめるんだ。tan⁡θ\tan\theta だけでは決まらないぞ。

極座標と極方程式の公式

平面上の点 P を、定点 O（極）からの距離 rr と、半直線 OX（始線）から測った角 θ\theta の組 (r, θ)(r,\ \theta) で表すのが極座標です。曲線を rr と θ\theta の関係式で表したものを極方程式といいます。

直交座標との変換と、代表的な極方程式

極座標 → 直交座標：x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta

直交座標 → 極座標：r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}、cos⁡θ=xr, sin⁡θ=yr\cos\theta=\dfrac xr,\ \sin\theta=\dfrac yr

  • 中心 O・半径 aa の円：r=ar=a
  • 中心 (a, 0)(a,\ 0)・半径 aa の円（O を通る）：r=2acos⁡θr=2a\cos\theta
  • 直線（O からの距離 pp、垂線の向き α\alpha）：rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p
θP極座標 (2, π/3)直交座標 (1, √3)rx＝r cosθy＝r sinθ極 O始線r＝√(x²＋y²)cosθ＝x/r、sinθ＝y/r
極座標 (2, π3)(2,\ \dfrac{\pi}{3}) の点は、直交座標で (1, 3)(1,\ \sqrt3)

証明

①変換の式　極を原点、始線を xx 軸の正の向きにとると、OP=rOP=r、OPOP と xx 軸のなす角が θ\theta なので、三角比（単位円）の定義から x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta（θ\theta が鈍角や負の角でも成り立ちます）。また三平方の定理から r2=x2+y2r^2=x^2+y^2。

②円 r=2acos⁡θr=2a\cos\theta（図形で）　中心 (a, 0)(a,\ 0)、半径 aa の円は O と A(2a, 0)A(2a,\ 0) を直径の両はしにもちます。円周上の点 P では、直径に対する円周角なので ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ。直角三角形 OPA で

OP=OAcos⁡θすなわちr=2acos⁡θOP=OA\cos\theta\quad\text{すなわち}\quad r=2a\cos\theta
θPr(a, 0)OA(2a, 0)∠OPA＝90°（直径の円周角）r＝2a cosθOP＝OA cosθ
直径 OA に対する円周角は直角なので、r=2acos⁡θr=2a\cos\theta

（式で確かめる）　(x−a)2+y2=a2(x-a)^2+y^2=a^2 を展開すると x2+y2=2axx^2+y^2=2ax。x2+y2=r2x^2+y^2=r^2、x=rcos⁡θx=r\cos\theta を入れて r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\theta、rr で割って r=2acos⁡θr=2a\cos\theta（r=0r=0 の点 O も θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2} でふくまれます）。

③直線 rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p　O から直線におろした垂線の足を H、OH=pOH=p、OH が始線となす角を α\alpha とします。直線上の点 P(r, θ)P(r,\ \theta) では △OHP が H で直角なので、OPcos⁡∠POH=OHOP\cos\angle POH=OH。∠POH\angle POH は θ−α\theta-\alpha（またはその符号を変えたもの）で、cos⁡\cos は符号を変えても同じ値なので

rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p

加法定理で開くと rcos⁡θcos⁡α+rsin⁡θsin⁡α=pr\cos\theta\cos\alpha+r\sin\theta\sin\alpha=p、つまり xcos⁡α+ysin⁡α=px\cos\alpha+y\sin\alpha=p という直線の式になります。

αθHpP(r, θ)OOP cos∠POH＝OHr cos(θ−α)＝p例：x＋√3y＝4（α＝π/3、p＝2）
直線は rcos⁡(θ−α)=pr\cos(\theta-\alpha)=p。例は x+3y=4x+\sqrt3y=4

大学受験（数学C）での使い方

大学受験

例題1（座標の変換）

(1) 極座標が (2, π3)(2,\ \dfrac{\pi}{3}) の点の直交座標を求めなさい。(2) 直交座標が (−1, 1)(-1,\ 1) の点の極座標を求めなさい（0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）。

解き方

(1) x=2cos⁡π3=1x=2\cos\dfrac{\pi}{3}=1、y=2sin⁡π3=3y=2\sin\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3。

(2) r=1+1=2r=\sqrt{1+1}=\sqrt2。cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}、sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2} なので θ=34π\theta=\dfrac{3}{4}\pi（第2象限）。

答え　(1) (1, 3)(1,\ \sqrt3)　(2) (2, 34π)\left(\sqrt2,\ \dfrac34\pi\right)

大学受験

例題2（極方程式を直交座標の式に）

極方程式 r=4sin⁡θr=4\sin\theta はどんな図形を表すか。

解き方

両辺に rr をかけて r2=4rsin⁡θr^2=4r\sin\theta。r2=x2+y2r^2=x^2+y^2、rsin⁡θ=yr\sin\theta=y より x2+y2=4yx^2+y^2=4y。

x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4。

答え　中心 (0, 2)(0,\ 2)、半径 2 の円

大学受験

例題3（直線を極方程式に）

直線 x+3y=4x+\sqrt3y=4 を極方程式で表しなさい。

解き方

rcos⁡θ+3rsin⁡θ=4r\cos\theta+\sqrt3r\sin\theta=4。左辺を 2r(12cos⁡θ+32sin⁡θ)=2rcos⁡(θ−π3)2r\left(\dfrac12\cos\theta+\dfrac{\sqrt3}{2}\sin\theta\right)=2r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) とまとめる（加法定理）。

2rcos⁡(θ−π3)=42r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=4。

答え　rcos⁡(θ−π3)=2r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=2

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

r=2acos⁡θr=2a\cos\theta の半径を 2a2a とするのは×だ。2a2a は直径、半径は aa だぞ。

  • tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac yx だけで θ\theta を決める：(−1, 1)(-1,\ 1) と (1, −1)(1,\ -1) はどちらも tan⁡θ=−1\tan\theta=-1。cos⁡θ\cos\theta、sin⁡θ\sin\theta の符号で象限を確かめる。
  • r=2acos⁡θr=2a\cos\theta の半径を 2a2a とする：2a2a は直径。中心 (a, 0)(a,\ 0)、半径 aa。
  • 両辺に rr をかけずに変換しようとする：rcos⁡θr\cos\theta、rsin⁡θr\sin\theta、r2r^2 の形を作ってから x, yx,\ y に置きかえる。

練習問題

○の札を持つうかるくん

うかるくん

rr をかけてから xx、yy に置きかえるんだね！

  1. 大学受験 極座標 (4, 56π)\left(4,\ \dfrac56\pi\right) の点の直交座標は？
    答えと解説を見るx=4cos⁡56π=−23x=4\cos\dfrac56\pi=-2\sqrt3、y=4sin⁡56π=2y=4\sin\dfrac56\pi=2。(−23, 2)(-2\sqrt3,\ 2)
  2. 大学受験 極方程式 rcos⁡(θ−π4)=2r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 を直交座標の式で表しなさい。
    答えと解説を見るrcos⁡θ⋅12+rsin⁡θ⋅12=2r\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}+r\sin\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=\sqrt2 より x+y=2x+y=2
  3. 大学受験 円 x2+y2=6xx^2+y^2=6x を極方程式で表しなさい。
    答えと解説を見るr2=6rcos⁡θr^2=6r\cos\theta より r=6cos⁡θr=6\cos\theta（中心 (3, 0)(3,\ 0)、半径 3）

関連する公式

よくある質問

極座標とは何ですか？

点の位置を、極（原点）からの距離rと、始線（x軸の正の向き）から測った角θの組(r, θ)で表す方法です。

極座標と直交座標の変換は？

x=r cosθ、y=r sinθ で直交座標に直せます。逆はr=√(x²+y²)で、θはcosθ=x/r、sinθ=y/rをみたす角です。

極方程式を直交座標の式に直すコツは？

両辺にrをかけるなどして、r cosθ、r sinθ、r²の形を作り、それぞれx、y、x²+y²に置きかえます。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（平面上の曲線と複素数平面）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦