変数変換とヤコビアンの公式｜dxdy=r dr dθ（極座標）の証明・重積分の例題【大学院入試・微分積分】

変数変換の公式とヤコビアン

重積分 $\displaystyle\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$ を、別の変数 $u,\ v$ で計算しなおす公式です。置換積分の $dx=g'(t)\,dt$ にあたる「面積の倍率」がヤコビアンです。

$J$ は1次の近似（偏微分の行列）の行列式です。絶対値をとるのは、面積は負にならないからです。

証明

① 1次変換なら、面積はちょうど $|\det|$ 倍

$x=au+bv,\ y=cu+dv$ とします。$uv$ 平面の辺が $\Delta u,\ \Delta v$ の長方形は、ベクトル $(a\Delta u,\ c\Delta u)$ と $(b\Delta v,\ d\Delta v)$ が作る平行四辺形にうつります。その面積は

$$|a\Delta u\cdot d\Delta v-b\Delta v\cdot c\Delta u|=|ad-bc|\,\Delta u\,\Delta v$$

なので、面積はどこでも $|ad-bc|$ 倍になります。

② 一般の変換は、小さな区画ごとに1次変換で近似（略証）

点 $(u,v)$ の近くでは、全微分により

$$\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}\fallingdotseq\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta u\\\Delta v\end{pmatrix}$$

と1次変換で近似できます。よって $uv$ 平面の小さな長方形 $\Delta u\,\Delta v$ は、面積がほぼ $|J|\,\Delta u\,\Delta v$ の区画にうつります。$D$ を細かく分けて $f\times(\text{面積})$ を足し、細かくする極限をとると公式になります（誤差が極限で0になることの厳密な証明は、微積分の教科書にゆずります）。

③ 極座標のヤコビアン

$$J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$$

$r\ge0$ なので $|J|=r$。図1の「たて $\Delta r$、よこ $r\Delta\theta$」と一致します。

大学院入試では

院試では「領域を見て、どの変換を使うか決める」→「ヤコビアンを計算」→「新しい変数の範囲を正しく書く」の3つが問われます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1年の微分積分学（多変数の積分・重積分）で習います。ヤコビアンの行列式は線形代数の行列式そのものです。
• 答案で示すこと：①変換の式、②ヤコビアンの計算と絶対値、③新しい変数の範囲（図をかくと安全）。この3つを省かずに書きます。
• よく出る形：円・扇形・円環なら極座標、$x+y$ や $x-y$ がそろって出てくるなら1次変換、だ円なら $x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta$。ガウス積分の計算や、3次元の極座標（$J=r^2\sin\theta$、球の体積）もよく問われます。
• 逆向きのヤコビアン：$u,\ v$ を $x,\ y$ で表した式しかないときは、$\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\Big/\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ を使えます。

よくある間違い

• $r$ を忘れる：$dx\,dy=dr\,d\theta$ と書くのは誤り。必ず $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$。
• 絶対値をとらない：例題2のように $J$ が負になることがあります。面積の倍率は $|J|$ です。
• 範囲を変えない：変数を変えたら、積分の範囲も新しい変数で書きなおします。$D$ がどんな $E$ にうつるかを図で確かめましょう。

練習問題

1. 大学院入試 $D:\ x^2+y^2\le1,\ x\ge0,\ y\ge0$ のとき、$\displaystyle\iint_Dxy\,dx\,dy$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   極座標で $0\le r\le1,\ 0\le\theta\le\dfrac\pi2$。$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\int_0^1r^3\,dr=\frac12\cdot\frac14=\frac18$。答え $\dfrac18$
2. 大学院入試 $D:\ 1\le x^2+y^2\le4$ のとき、$\displaystyle\iint_D\frac{dx\,dy}{x^2+y^2}$ を求めなさい。
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   極座標で $\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_1^2\frac1{r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\big[\log r\big]_1^2=2\pi\log2$。答え $2\pi\log2$
3. 大学院入試 3次元の極座標 $x=r\sin\theta\cos\varphi,\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\ z=r\cos\theta$ のヤコビアンは $r^2\sin\theta$ である。これを使って、半径 $a$ の球の体積を求めなさい。
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   $0\le r\le a,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le\varphi\le2\pi$。$\displaystyle\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^ar^2\,dr=2\pi\cdot2\cdot\frac{a^3}3=\frac43\pi a^3$。答え $\dfrac43\pi a^3$

関連する公式

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よくある質問

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