重積分と累次積分の公式｜積分順序の交換のやり方・理由と例題（e^{y²}・sinx/x）【大学院入試・微分積分】

重積分と累次積分

平面の領域 $D$ の上で $f(x,y)$ を積分するのが2重積分です。実際の計算は、1変数の積分を2回くり返す累次積分で行います。どちらの変数から先に積分しても値は同じなので、計算しやすい順に入れかえられます。

なぜ順序を入れかえてよいのか（略証）

厳密な証明（フビニの定理）は積分の定義にもとづくので、ここでは長方形の場合の要点を示します。

① 長方形でのリーマン和

$D=[a,b]\times[c,d]$ を縦横に分けて小長方形 $\Delta x_i\times\Delta y_j$ を作り、各小長方形の点 $(\xi_i,\eta_j)$ で $f$ の値をとった和

$$S=\sum_{i}\sum_{j}f(\xi_i,\eta_j)\,\Delta x_i\,\Delta y_j$$

を考えます。分け方を細かくした極限が2重積分です（$f$ が連続ならこの極限は存在します）。

② 足す順序を変えても和は同じ

有限個の和なので、$\displaystyle\sum_i\Big(\sum_jf(\xi_i,\eta_j)\Delta y_j\Big)\Delta x_i$（先に縦に足す）と $\displaystyle\sum_j\Big(\sum_if(\xi_i,\eta_j)\Delta x_i\Big)\Delta y_j$（先に横に足す）は等しくなります。$f$ が連続（長方形の上で一様連続）なら、内側の和はそれぞれ $\displaystyle\int_c^df(\xi_i,y)\,dy$、$\displaystyle\int_a^bf(x,\eta_j)\,dx$ に、外側の和はさらに $x$、$y$ の積分に近づくので、2つの累次積分は同じ値（2重積分）になります。

③ 一般の領域

$D$ を含む長方形をとり、$D$ の外では $f=0$ とした関数で考えます。縦線型なら、$x$ を止めたとき $f\neq0$ になりうるのは $\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)$ の部分だけなので、内側の積分の範囲がそこに縮みます。境界が連続な曲線なら、境界で $f$ が不連続になっても積分の値には影響しません（この部分の厳密な議論は略）。

大学院入試では

領域を図にかき、どちらの順序なら計算できるかを判断する問題が定番です。$e^{y^2}$ や $\dfrac{\sin x}{x}$ のように、原始関数が初等関数で書けない関数は、順序を入れかえると計算できるようになります。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学初年級の微分積分の「重積分」で学びます。続けて変数変換とヤコビアン（極座標）、ガウス積分へ進みます。
• 答案で示すべきこと：領域を不等式で2通りに書くことが中心です。図をかき、「$0\le x\le1,\ x\le y\le1$ は $0\le y\le1,\ 0\le x\le y$ と同じ」と書いてから入れかえます。
• 入れかえの前提：有界な領域で $f$ が連続なら自由に入れかえられます。広義積分（範囲が無限、または $f$ が有界でない）では、$f\ge0$ などの条件を確かめてから入れかえます。
• よくある出題の形：累次積分の順序交換、立体の体積、$\displaystyle\iint_D$ の値を領域の図から求める問題、1変数の積分を2重積分に直して計算する問題などです。

よくある間違い

• 積分範囲をそのまま入れかえる：$\displaystyle\int_0^1\int_x^1dy\,dx$ を $\displaystyle\int_x^1\int_0^1dx\,dy$ とするのは誤り。外側の範囲は定数、内側の範囲は外側の変数で書きます。
• 領域を図にかかずに範囲を決める：$x^2\le y\le x$ のように境界が2本あるときは、どちらが上かを図で確かめます。$0\le x\le1$ では $x^2\le x$ です。
• 内側の積分で外側の変数を定数として扱わない：例題1の内側では $x$ は定数なので、$\displaystyle\int xy\,dy=\frac{xy^2}{2}$ です。

練習問題

1. 大学院入試 $D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le2\}$ のとき、$\displaystyle\iint_D(x^2+y)\,dx\,dy$ を求めなさい。
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   $\displaystyle\int_0^2(x^2+y)\,dy=2x^2+2$。$\displaystyle\int_0^1(2x^2+2)\,dx=\frac23+2$。答え $\dfrac83$
2. 大学院入試 積分の順序を入れかえて、$\displaystyle\int_0^1\left(\int_{\sqrt x}^1\sqrt{1+y^3}\,dy\right)dx$ を求めなさい。
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   領域 $0\le x\le1,\ \sqrt x\le y\le1$ は $0\le y\le1,\ 0\le x\le y^2$ と同じ。$\displaystyle\int_0^1y^2\sqrt{1+y^3}\,dy=\left[\frac29(1+y^3)^{\frac32}\right]_0^1$。答え $\dfrac29(2\sqrt2-1)$
3. 大学院入試 $x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1$ の上で、高さ $z=1-x-y$ の立体（四面体）の体積を2重積分で求めなさい。
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   $\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\right)dx=\int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}dx=\left[-\frac{(1-x)^3}{6}\right]_0^1$。答え $\dfrac16$

関連する公式

• 変数変換とヤコビアン（極座標）
• 広義積分とガウス積分（2重積分で求める）
• 積分の公式
• 区分求積法（リーマン和の考え方）
• 回転体の体積（断面積の積分）
• 定積分と面積

よくある質問

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