区分求積法の公式 lim(1/n)Σf(k/n)＝∫₀¹f(x)dx｜長方形で近似する図と証明・Σk²/n³→1/3の例題【数学Ⅲ・大学受験】

区分求積法の公式

区間を $n$ 等分して細い長方形の面積の和を作り、$n\to\infty$ とすると定積分（面積）になる、という公式です。入試では「$\displaystyle\sum$ の極限」を定積分に直して計算するのに使います。

証明：長方形の和が定積分に近づく理由

$f(x)$ が $0\le x\le1$ で連続で増加する場合を示します（減少する場合も同じ。ふつう入試で使う関数は、増加・減少する区間に分ければ同じように示せます）。

①1本ずつはさむ　$\dfrac{k-1}{n}\le x\le\dfrac kn$ では $f\!\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\le f(x)\le f\!\left(\dfrac kn\right)$。この区間で積分すると（幅は $\dfrac1n$）

$$\frac1nf\!\left(\frac{k-1}{n}\right)\le\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac kn}f(x)\,dx\le\frac1nf\!\left(\frac kn\right)$$

②全部たす　$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$ でたすと、下の和 $s_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(\frac kn\right)$、上の和 $S_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac kn\right)$ として

$$s_n\le\int_0^1f(x)\,dx\le S_n$$

③差が0に近づく　$S_n-s_n=\dfrac1n\{f(1)-f(0)\}$（下の図：はみ出た部分を寄せると1本の長方形）。よって

$$\int_0^1f(x)\,dx\le S_n\le\int_0^1f(x)\,dx+\frac{f(1)-f(0)}{n}$$

$n\to\infty$ で右はしは $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ に近づくので、はさみうちの原理より $S_n\to\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$。$s_n=S_n-\dfrac{f(1)-f(0)}{n}$ も同じ値に近づきます。

確かめ　$f(x)=x^2$ のとき、Σの公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$ を使うと

$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac16\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right)\to\frac26=\frac13$$

で、$\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\frac13$ と一致します。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

手順：①$\dfrac1n$ を外にくくり出す　②残りを $\dfrac kn$ だけの式 $f\!\left(\dfrac kn\right)$ にする　③$\dfrac kn\to x$、$\dfrac1n\displaystyle\sum\to\int_0^1$ と読みかえる。

よくある間違い

• $\dfrac1n$ をくくり出さない：$\displaystyle\sum f\!\left(\frac kn\right)$ だけでは長方形の「たて」の和で、面積にならない（発散する）。
• $k$ の範囲が $1$〜$2n$ なのに $\displaystyle\int_0^1$ にする：$\dfrac kn$ は $0$ から $2$ まで動くので $\displaystyle\int_0^2$ になる。
• $\dfrac kn$ の形にしきれていない：$n$ が残っているうちは定積分に直せない。分母分子を $n$ のべきで割ってそろえる。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^{n}k^3$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac1n\displaystyle\sum\left(\frac kn\right)^3\to\int_0^1x^3\,dx=\frac14$
2. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}e^{\frac kn}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1$
3. 大学受験 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $f(x)=\sin\pi x$。$\displaystyle\int_0^1\sin\pi x\,dx=\left[-\frac{\cos\pi x}{\pi}\right]_0^1=\frac{2}{\pi}$

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よくある質問

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