行列式の公式｜余因子展開・積の行列式det(AB)=detAdetBの証明と計算・性質の例題【大学院入試・線形代数】

行列式の定義・余因子展開・積の行列式

$n$ 次の正方行列 $A=(a_{ij})$ に1つの数 $\det A$（$|A|$ とも書く）を対応させたものが行列式です。逆行列があるかどうか、連立方程式の解が1つに決まるかどうか、固有値など、線形代数のほとんどの場面で使います。

計算でいつも使う性質をまとめます（どれも定義から示せます）。

• $\det A^{\top}=\det A$（行についての性質は、そのまま列についても成り立つ）
• 2つの行を入れかえると符号が変わる。2つの行が等しければ $0$
• 1つの行を $k$ 倍すると、行列式も $k$ 倍。だから $\det(kA)=k^n\det A$
• ある行に別の行の定数倍を足しても、値は変わらない
• 三角行列の行列式は、対角成分の積

なぜ成り立つのか（証明）

① 定義から出る3つの性質

定義の式は、各項が「各行から1つずつ」成分を取ってかけたものなので、1つの行について1次式です（多重線形性）。たとえば第1行が $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ なら、行列式は「第1行が $\boldsymbol{u}$ のもの」＋「第1行が $\boldsymbol{v}$ のもの」に分かれます。

2つの行を入れかえると、置換に互換が1つかかり、すべての項で $\mathrm{sgn}$ が反転するので符号が変わります（交代性）。等しい2行を入れかえても行列は同じなので、$\det A=-\det A$、つまり $\det A=0$。さらに $\det E=1$ です。

「ある行に別の行の $k$ 倍を足しても値は変わらない」は、多重線形性で「元の行列式」＋「$k\times$（2行が等しい行列式 $=0$）」に分かれることから出ます。

② 余因子展開

第1行を $\boldsymbol{a}_1=\sum_j a_{1j}\boldsymbol{e}_j$（$\boldsymbol{e}_j$ は第 $j$ 成分だけ1の行ベクトル）と分けると、多重線形性より

$$\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}\det A_j\qquad(A_j\text{ は第1行を }\boldsymbol{e}_j\text{ にした行列})$$

$A_j$ の第 $j$ 列を、となりの列との入れかえ $j-1$ 回で第1列に移すと、第1行が $(1,0,\cdots,0)$ になり、符号は $(-1)^{j-1}$ 倍。第1行が $(1,0,\cdots,0)$ の行列式は、定義で $\sigma(1)=1$ の項しか残らないので、右下の $n-1$ 次の行列式 $\Delta_{1j}$ に等しくなります。よって $\det A_j=(-1)^{1+j}\Delta_{1j}$。

第 $i$ 行で展開するときは、第 $i$ 行を $i-1$ 回の入れかえで一番上に移してから同じことをするので、符号は $(-1)^{i-1}\cdot(-1)^{j-1}=(-1)^{i+j}$ です。列での展開は $\det A^{\top}=\det A$ から出ます（$\det A^{\top}=\det A$ は、置換 $\sigma$ と逆置換 $\sigma^{-1}$ の符号が等しいことから示せます）。

③ 積の行列式

$B$ を固定して $f(A)=\det(AB)$ と考えます。$AB$ の第 $i$ 行は（$A$ の第 $i$ 行）$\times B$ なので、$f$ も $A$ の各行について1次式で、2行を入れかえると符号が変わります。$A$ の各行を $\boldsymbol{a}_i=\sum_j a_{ij}\boldsymbol{e}_j$ と分けて展開すると

$$f(A)=\sum_{j_1,\cdots,j_n}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\,f(\boldsymbol{e}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{e}_{j_n})$$

$j_1,\cdots,j_n$ に同じものがある項は（2行が等しいので）$0$。残るのは並べかえ $\sigma$ の項で、行を入れかえて並べ直すと $f(\boldsymbol{e}_{\sigma(1)},\cdots,\boldsymbol{e}_{\sigma(n)})=\mathrm{sgn}(\sigma)f(E)$。$f(E)=\det B$ なので

$$\det(AB)=\det B\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}=\det A\,\det B$$

図形の意味：2次の行列式は、2つの列ベクトルが作る平行四辺形の（向きつきの）面積です。行列 $A$ で平面をうつすと、どの図形の面積も $|\det A|$ 倍になります。続けてうつせば倍率はかけ算になる、というのが $\det(AB)=\det A\det B$ の意味です。

大学院入試では

院試では、具体的な4次の行列式、文字を含む行列式の因数分解、性質だけで値を決める問題がよく出る形です。掃き出しで0を増やしてから余因子展開するのが基本の流れです。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1年の線形代数学で、置換を使った定義 → 多重線形性・交代性 → 余因子展開 → 積の公式、の順に学ぶことが多い内容です。逆行列（余因子行列）、クラメルの公式、固有多項式へとつながります。
• 答案で示すこと：行基本変形を使うときは、どの操作をしたか（入れかえは符号が変わる、$k$ 倍は $k$ 倍になる、定数倍を足すのは不変）を書きそえます。途中で行を $k$ でわったら、外に $k$ をかけるのを忘れないこと。
• よくある出題の形：4次程度の具体的な計算、文字を含む行列式の因数分解（ヴァンデルモンド型・巡回型）、$n$ 次の行列式を漸化式で求める問題、$\det(kA)$・$\det A^{-1}$・$\det A^{\top}$ など性質を使う問題、直交行列の行列式が $\pm1$ であることの証明。
• 証明問題：「$\det(AB)=\det A\det B$ を示せ」と問われたら、何を前提にしてよいか（多重線形性・交代性は使ってよいか）を問題文から読み取り、③の流れで書きます。

よくある間違い

• $\det(kA)=k\det A$ としてしまう：$k$ 倍されるのは $n$ 個の行すべてなので $\det(kA)=k^n\det A$ です。
• $\det(A+B)=\det A+\det B$ としてしまう：和では成り立ちません（たとえば $A=B=E$（2次）なら左辺 $4$、右辺 $2$）。成り立つのは積です。
• サラスの方法を4次に使う：4次の行列式は $4!=24$ 項あり、斜めの線8本では足りません。サラスの方法は3次だけです。

練習問題

1. 大学院入試 次の行列式を求めなさい。$$\begin{vmatrix}2&1&3\\1&-1&2\\3&0&1\end{vmatrix}$$
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   サラスの方法で $2\cdot(-1)\cdot1+1\cdot2\cdot3+3\cdot1\cdot0-3\cdot(-1)\cdot3-2\cdot2\cdot0-1\cdot1\cdot1=-2+6+0+9-0-1=12$。答え $12$
2. 大学院入試 3次の正方行列 $A$ が $\det A=4$ をみたすとき、$\det(2A^{-1})$ と $\det(A^{\top}A)$ を求めなさい。
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   $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}=\dfrac14$（$AA^{-1}=E$ の両辺の行列式から）。$\det(2A^{-1})=2^3\cdot\dfrac14=2$。$\det(A^{\top}A)=\det A^{\top}\det A=4\cdot4=16$。答え $2,\ 16$
3. 大学院入試 対角成分がすべて $2$、そのすぐ上と下の成分が $1$、ほかは $0$ の $n$ 次の行列式 $$D_n=\begin{vmatrix}2&1&&\\1&2&\ddots&\\&\ddots&\ddots&1\\&&1&2\end{vmatrix}$$ を求めなさい。
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   第1行で展開すると $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$（2つ目の項はさらに第1列で展開）。$D_1=2,\ D_2=3$ なので $D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}=\cdots=D_2-D_1=1$。答え $D_n=n+1$

関連する公式

• 逆行列（掃き出し法・余因子行列）
• 連立1次方程式と階数（ランク）
• 固有値と固有ベクトル（固有多項式は行列式）
• ケーリー・ハミルトンの定理（$ad-bc$ が出てくる）
• ベクトルと三角形の面積（2次の行列式と面積）
• 変数変換とヤコビアン（行列式が面積の倍率になる）

よくある質問

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