この公式のポイント
軌跡は P ( x , y ) P(x,\ y) P ( x , y ) 逆の確認 （除く点がないか）を忘れないアポロニウスの円は内分点と外分点が直径の両はし 領域の最大・最小は直線 = k =k = k このページの内容
軌跡と領域の基本 証明：アポロニウスの円 大学受験（数学Ⅱ）での使い方 よくある間違い 練習問題 関連する公式 よくある質問 うかるくん
軌跡の問題って、何から始めればいいのか分からないよ。
合格先生
まず P ( x , y ) P(x,\ y) P ( x , y )
軌跡と領域の基本
軌跡の求め方と、アポロニウスの円
軌跡 ：条件をみたす点 P P P
動く点を P ( x , y ) P(x,\ y) P ( x , y ) 条件を x , y x,\ y x , y 逆に、その図形上の点がすべて条件をみたすか確かめる アポロニウスの円 ：2点 A、B からの距離の比が P A : P B = m : n PA:PB=m:n P A : PB = m : n m ≠ n m\neq n m = n 線分 AB を m : n m:n m : n 。（m = n m=n m = n
領域 ：y > f ( x ) y>f(x) y > f ( x ) y < f ( x ) y<f(x) y < f ( x ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < r 2 (x-a)^2+(y-b)^2<r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < r 2 > r 2 >r^2 > r 2
A(0,0) B(3,0) C D 中心(4,0) P(4,2) PA＝2√5 PB＝√5 C：ABを2:1に内分 D：2:1に外分 CDが直径 PA:PB＝2:1 の点の軌跡は、C(2,0) と D(6,0) を直径の両はしとする円 証明：アポロニウスの円
方法1：座標で計算する
A( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( b , 0 ) (b,0) ( b , 0 ) b > 0 b>0 b > 0 P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) P A : P B = m : n PA:PB=m:n P A : PB = m : n n P A = m P B nPA=mPB n P A = m PB
n 2 ( x 2 + y 2 ) = m 2 { ( x − b ) 2 + y 2 } n^2(x^2+y^2)=m^2\{(x-b)^2+y^2\} n 2 ( x 2 + y 2 ) = m 2 {( x − b ) 2 + y 2 } ( m 2 − n 2 ) ( x 2 + y 2 ) − 2 m 2 b x + m 2 b 2 = 0 (m^2-n^2)(x^2+y^2)-2m^2bx+m^2b^2=0 ( m 2 − n 2 ) ( x 2 + y 2 ) − 2 m 2 b x + m 2 b 2 = 0 m ≠ n m\neq n m = n m 2 − n 2 m^2-n^2 m 2 − n 2
( x − m 2 b m 2 − n 2 ) 2 + y 2 = ( m n b m 2 − n 2 ) 2 \left(x-\frac{m^2b}{m^2-n^2}\right)^2+y^2=\left(\frac{mnb}{m^2-n^2}\right)^2 ( x − m 2 − n 2 m 2 b ) 2 + y 2 = ( m 2 − n 2 mnb ) 2 となり、中心 ( m 2 b m 2 − n 2 , 0 ) \left(\dfrac{m^2b}{m^2-n^2},\ 0\right) ( m 2 − n 2 m 2 b , 0 ) m n b ∣ m 2 − n 2 ∣ \dfrac{mnb}{|m^2-n^2|} ∣ m 2 − n 2 ∣ mnb x x x m b m + n \dfrac{mb}{m+n} m + n mb m b m − n \dfrac{mb}{m-n} m − n mb
方法2：角の二等分線を使う
P が直線 AB 上にないとき、AB を m : n m:n m : n P A : P B = m : n = A C : C B PA:PB=m:n=AC:CB P A : PB = m : n = A C : CB 角の二等分線の定理 の逆から PC は ∠ A P B \angle APB ∠ A PB ∠ C P D = 9 0 ∘ \angle CPD=90^\circ ∠ CP D = 9 0 ∘
(2,3) x＋y＝5 が最大 x＋y＝3 x＋2y＝8 3x＋y＝9 O 3 4 5 5 領域の頂点 (2,3) で、x + y x+y x + y 領域での最大・最小の考え方
x + y = k x+y=k x + y = k − 1 -1 − 1 y y y k k k ( x , y ) (x,y) ( x , y ) x + y = k x+y=k x + y = k x + y = k x+y=k x + y = k y y y k k k 頂点 （または辺全体）でとります。
大学受験（数学Ⅱ）での使い方
大学受験 例題1（アポロニウスの円）
2点 A
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 、B
( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) からの距離の比が
P A : P B = 2 : 1 PA:PB=2:1 P A : PB = 2 : 1 である点 P の軌跡を求めなさい。
解き方
P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) P A = 2 P B PA=2PB P A = 2 PB x 2 + y 2 = 4 { ( x − 3 ) 2 + y 2 } x^2+y^2=4\{(x-3)^2+y^2\} x 2 + y 2 = 4 {( x − 3 ) 2 + y 2 }
整理して 3 x 2 + 3 y 2 − 24 x + 36 = 0 3x^2+3y^2-24x+36=0 3 x 2 + 3 y 2 − 24 x + 36 = 0 x 2 + y 2 − 8 x + 12 = 0 x^2+y^2-8x+12=0 x 2 + y 2 − 8 x + 12 = 0 ( x − 4 ) 2 + y 2 = 4 (x-4)^2+y^2=4 ( x − 4 ) 2 + y 2 = 4
答え 中心 ( 4 , 0 ) (4,0) ( 4 , 0 ) 2 2 2
大学受験 例題2（中点の軌跡）
点 Q が円
x 2 + y 2 = 4 x^2+y^2=4 x 2 + y 2 = 4 の上を動くとき、A
( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) と Q を結ぶ線分 AQ の中点 M の軌跡を求めなさい。
解き方
Q ( s , t ) Q(s,t) Q ( s , t ) M ( x , y ) M(x,y) M ( x , y ) x = s + 6 2 x=\dfrac{s+6}{2} x = 2 s + 6 y = t 2 y=\dfrac t2 y = 2 t s = 2 x − 6 s=2x-6 s = 2 x − 6 t = 2 y t=2y t = 2 y
s 2 + t 2 = 4 s^2+t^2=4 s 2 + t 2 = 4 ( 2 x − 6 ) 2 + ( 2 y ) 2 = 4 (2x-6)^2+(2y)^2=4 ( 2 x − 6 ) 2 + ( 2 y ) 2 = 4 ( x − 3 ) 2 + y 2 = 1 (x-3)^2+y^2=1 ( x − 3 ) 2 + y 2 = 1
答え 中心 ( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) 1 1 1
大学受験 例題3（領域での最大）
x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 、
y ≥ 0 y\ge0 y ≥ 0 、
x + 2 y ≤ 8 x+2y\le8 x + 2 y ≤ 8 、
3 x + y ≤ 9 3x+y\le9 3 x + y ≤ 9 のとき、
x + y x+y x + y の最大値を求めなさい。
解き方
領域は4点 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) ( 0 , 4 ) (0,4) ( 0 , 4 ) ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) x + 2 y = 8 x+2y=8 x + 2 y = 8 3 x + y = 9 3x+y=9 3 x + y = 9
x + y = k x+y=k x + y = k − 1 -1 − 1 − 1 2 -\dfrac12 − 2 1 − 3 -3 − 3 ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) k k k k = 5 k=5 k = 5 0 , 3 , 5 , 4 0,\ 3,\ 5,\ 4 0 , 3 , 5 , 4
答え 最大値 5 5 5 x = 2 , y = 3 x=2,\ y=3 x = 2 , y = 3
よくある間違い
合格先生
アポロニウスの円の中心を、ABの中点にするのは×だ。内分点と外分点の中点だぞ。
逆の確認をしない ：「点 P が直線 AB 上にない」などの条件があると、軌跡から点が除かれることがあります。アポロニウスの円の中心を AB の中点にする ：中心は内分点と外分点の中点で、ふつう AB の中点ではありません。領域で境界をふくむかを書かない ：≤ \le ≤ < < < 練習問題
大学受験 2点 A( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) P A : P B = 3 : 1 PA:PB=3:1 P A : PB = 3 : 1 答えと解説を見る ( x + 1 ) 2 + y 2 = 9 { ( x − 1 ) 2 + y 2 } (x+1)^2+y^2=9\{(x-1)^2+y^2\} ( x + 1 ) 2 + y 2 = 9 {( x − 1 ) 2 + y 2 } x 2 + y 2 − 5 2 x + 1 = 0 x^2+y^2-\dfrac52x+1=0 x 2 + y 2 − 2 5 x + 1 = 0 ( 5 4 , 0 ) \left(\dfrac54,0\right) ( 4 5 , 0 ) 3 4 \dfrac34 4 3 1 2 \dfrac12 2 1 2 2 2 大学受験 2点 A( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 4 , 2 ) (4,2) ( 4 , 2 ) 答えと解説を見る x 2 + y 2 = ( x − 4 ) 2 + ( y − 2 ) 2 x^2+y^2=(x-4)^2+(y-2)^2 x 2 + y 2 = ( x − 4 ) 2 + ( y − 2 ) 2 8 x + 4 y = 20 8x+4y=20 8 x + 4 y = 20 2 x + y = 5 2x+y=5 2 x + y = 5 大学受験 x 2 + y 2 ≤ 2 x^2+y^2\le2 x 2 + y 2 ≤ 2 x + y x+y x + y 答えと解説を見る 直線 x + y = k x+y=k x + y = k ∣ k ∣ 2 ≤ 2 \dfrac{|k|}{\sqrt2}\le\sqrt2 2 ∣ k ∣ ≤ 2 ∣ k ∣ ≤ 2 |k|\le2 ∣ k ∣ ≤ 2 2 2 2 x = y = 1 x=y=1 x = y = 1 関連する公式
よくある質問 軌跡の求め方は？ 動く点をP(x,y)とおき、条件をxとyの式で表して整理します。最後に、その図形上の点がすべて条件をみたすか（除く点がないか）を確かめます。
アポロニウスの円とは？ 2点A、Bからの距離の比がm:n（m≠n）である点の軌跡で、ABをm:nに内分する点と外分する点を直径の両はしとする円です。
アポロニウスの円はどうやって証明しますか？ 座標でP(x,y)とおき、距離の比の式を2乗して整理すると円の方程式になります。角の二等分線の定理を使い、内角と外角の二等分線が直交することから示す方法もあります。
領域での最大・最小はどう求めますか？ 求める式を=kとおいて直線（や曲線）と考え、それが領域と共有点をもつ範囲でkが最大・最小になる位置を探します。多角形の領域なら頂点を調べます。
あわせて読みたい 出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（図形と方程式） 最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
