円周角の定理の逆と4点が同一円周上にある条件｜内側・外側で角を比べる証明・内接四角形の対角の和180°と例題【中学3年〜数学A】

高校受験大学受験

\angle APB=\angle AQB\ \Longrightarrow\ A,\ B,\ P,\ Q\ \text{は同一円周上}

P、Q は直線 AB の同じ側。四角形なら対角の和 $180^\circ$ でも円に内接

この公式のポイント

同じ側で $\angle APB=\angle AQB$ なら4点は同じ円周上
四角形の対角の和が $180^\circ$ なら円に内接
外角＝内対角 でも円に内接
証明は「内側なら角が大きく、外側なら小さい」

うかるくん

角が等しいだけで、4点が同じ円の上にあるって言えるの？

合格先生

P、Q が AB の同じ側にあれば言える。円の内側なら角は大きく、外側なら小さくなるからだ。

4点が同一円周上にある条件

同じ円周上にあることを示す方法

① 円周角の定理の逆：2点 P、Q が直線 AB の同じ側にあって $\angle APB=\angle AQB$ ならば、4点 A、B、P、Q は同じ円周上にある。

② 内接四角形の条件：四角形の向かい合う角（対角）の和が $180^\circ$ ならば、その四角形は円に内接する。

③ 四角形の1つの外角が、それととなり合う内角の対角（内対角）に等しいならば、円に内接する。

AB の同じ側で同じ大きさの角を見こむ点は、同じ円周上にある

①は中学3年、②③は高校の数学A で学びます。円周角の定理「同じ弧に対する円周角は等しい」の逆です。このほか方べきの定理の逆も、4点が同じ円周上にあることを示すのに使えます。

証明

①の証明（円の内側なら大きく、外側なら小さい）

3点 A、B、P を通る円をかき、 $\angle APB=\theta$ とします。AB の中点を M とします。まず次の事実を使います。

補題：点 X が △ABY の内部にあれば $\angle AXB>\angle AYB$ 。（AX をのばして BY との交点を S とすると、△XBS の外角で $\angle AXB=\angle XSB+\angle XBS>\angle ASB$ 、△AYS の外角で $\angle ASB=\angle YAS+\angle AYS>\angle AYB$ 。）

Q が円の内側のとき：M から Q の方向へのばした半直線が円と交わる点を R とすると、R は P と同じ側の弧の上なので $\angle ARB=\theta$ （円周角の定理）。Q は △ABR の内部にあるので、補題より $\angle AQB>\theta$ 。
Q が円の外側のとき：線分 MQ が円と交わる点を R とすると、R は △ABQ の内部にあるので、補題より $\theta=\angle ARB>\angle AQB$ 。

どちらも $\angle AQB=\theta$ に反します。よって Q は円周上にあります。

円の内側の点 Q₁ から見ると角は大きく、外側の点 Q₂ から見ると角は小さい

②の証明

（円に内接すれば対角の和は180°）円に内接する四角形 ABCD で、 $\angle A$ は弧 BCD の円周角、 $\angle C$ は弧 BAD の円周角です。2つの弧の中心角の和は $360^\circ$ なので、円周角の和は $\angle A+\angle C=180^\circ$ 。

（逆）四角形 ABCD で $\angle A+\angle C=180^\circ$ とします。3点 A、B、D を通る円をかき、A をふくまない弧 BD 上に点 C' をとると、上のことから $\angle BC'D=180^\circ-\angle A=\angle BCD$ 。C と C' は直線 BD について同じ側（A と反対側）にあるので、①より C は B、D、C' を通る円、つまり A、B、D を通る円の上にあります。

③は、C の外角 $=180^\circ-\angle C$ なので「外角＝ $\angle A$ 」⇔「 $\angle A+\angle C=180^\circ$ 」となり、②と同じことです。

円に内接する四角形：対角の和は180°、C の外角 ∠DCE は ∠A に等しい

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題1（円周角の定理の逆）

四角形 ABCD で ∠BAC＝∠BDC＝35°、∠ABD＝50° です（A、D は直線 BC の同じ側）。∠ACD を求めなさい。

解き方

A、D は BC の同じ側にあり $\angle BAC=\angle BDC$ なので、円周角の定理の逆より4点 A、B、C、D は同じ円周上にある。

弧 AD に対する円周角なので $\angle ACD=\angle ABD=50^\circ$ 。

答え　 $50^\circ$

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題2（垂心と4点）

鋭角三角形 ABC で、B、C から対辺におろした垂線の足を E（辺 CA 上）、F（辺 AB 上）、垂心を H とします。(1) A、F、H、E (2) B、C、E、F がそれぞれ同じ円周上にあることを示しなさい。

解き方

(1) 四角形 AFHE で $\angle AFH+\angle AEH=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ 。対角の和が $180^\circ$ なので円に内接する。

(2) E、F は直線 BC の同じ側にあり、 $\angle BEC=\angle BFC=90^\circ$ 。円周角の定理の逆より同じ円周上（BC が直径の円）。

答え　(1)(2)とも成り立つ（証明終わり）

大学受験

例題3（内接するかの判定）

四角形 ABCD で ∠A＝70°、∠B＝95°、∠C＝110°、∠D＝85° のとき、この四角形は円に内接しますか。

解き方

$\angle A+\angle C=70^\circ+110^\circ=180^\circ$ （ $\angle B+\angle D=180^\circ$ も成り立つ）。対角の和が $180^\circ$ なので円に内接する。

答え　内接する

よくある間違い

合格先生

向かい合う角の和が $180^\circ$ かを見よう。となり合う角の和では内接は言えないぞ。

「同じ側」を確かめない：P、Q が AB の反対側にあるときは、 $\angle APB=\angle AQB$ でも同じ円周上とは限りません（反対側なら $\angle APB+\angle AQB=180^\circ$ が条件）。
となり合う角の和を見る： $180^\circ$ になるべきなのは向かい合う角の和。
定理と逆をまぜる：「円周上にある→角が等しい」が定理、「角が等しい→円周上にある」が逆。証明ではどちらを使ったか書く。

練習問題

サクラちゃん

同じ側か反対側か、まず図で確かめよう

高校受験四角形 ABCD で ∠BAC＝∠BDC＝55°（A、D は BC の同じ側）、∠CAD＝30° のとき、∠CBD は？
答えと解説を見る
4点は同じ円周上。弧 CD に対する円周角なので $\angle CBD=\angle CAD=30^\circ$
大学受験四角形 ABCD で ∠A＝100°、頂点 C の外角が 100° のとき、この四角形は円に内接しますか。
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外角＝内対角 ∠A なので内接する（ $\angle C=80^\circ$ 、 $\angle A+\angle C=180^\circ$ ）
大学受験鋭角三角形 ABC で ∠A＝60°、垂線 BE、CF の交点（垂心）を H とします。∠BHC は？
答えと解説を見る
四角形 AFHE は対角の和が $180^\circ$ で円に内接し、 $\angle FHE=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ 。 $\angle BHC$ はその対頂角で $120^\circ$

よくある質問

円周角の定理の逆とは？

2点P、Qが直線ABの同じ側にあって、∠APB=∠AQBならば、4点A、B、P、Qは同じ円周上にある、という定理です。

4点が同一円周上にあることを示す方法は？

円周角の定理の逆（同じ側で角が等しい）、四角形の対角の和が180°、外角が内対角に等しい、方べきの定理の逆などを使います。

円周角の定理の逆はどうやって証明しますか？

3点を通る円をかき、残りの点が円の内側なら見こむ角が大きく、外側なら小さくなることを三角形の外角で示し、角が等しいなら円周上にしかないことを導きます。

対角の和が180°の四角形はなぜ円に内接しますか？

3つの頂点を通る円をかくと、残りの頂点から見た角が、その円の弧上の点から見た角と等しくなるので、円周角の定理の逆からその円の上にあると分かります。