外接円・内接円の半径の公式｜r＝2S/(a＋b＋c) の証明（3つの三角形に分ける）・R＝a/2sinA・例題【数学Ⅰ・大学受験】

外接円・内接円の半径の公式｜r＝2S/(a＋b＋c) の証明（3つの三角形に分ける）・R＝a/2sinA・例題【数学Ⅰ・大学受験】

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大学受験

R=a2sin⁡A,r=2Sa+b+cR=\frac{a}{2\sin A},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}

SS は三角形の面積

この公式のポイント

  • 外接円：R=a2sin⁡AR=\dfrac{a}{2\sin A}（正弦定理）
  • 内接円：r=2Sa+b+cr=\dfrac{2S}{a+b+c}（3つの三角形に分ける）
  • 直角三角形は斜辺が外接円の直径
  • 外心＝垂直二等分線の交点、内心＝角の二等分線の交点
うかるくん

うかるくん

内接円の半径は、どうして 2S2S を3辺の和で割るの？

合格先生

合格先生

内心と頂点を結ぶと、高さ rr の三角形が3つできる。面積の和が 12r(a+b+c)\dfrac12r(a+b+c) だからだ。

外接円・内接円の半径の公式

三角形の3つの頂点を通る円が外接円（中心は外心＝3辺の垂直二等分線の交点）、3辺に接する円が内接円（中心は内心＝3つの角の二等分線の交点）です。△ABC の辺を a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB、面積を SS とします。

外接円の半径 R と内接円の半径 r

R=a2sin⁡Ar=2Sa+b+cR=\frac{a}{2\sin A}\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}

（RR は正弦定理 asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R から）

証明：内接円の半径 r＝2S÷(a＋b＋c)

IABCa＝4b＝3c＝5r＝1S＝△IBC＋△ICA＋△IAB
内心 I と3つの頂点を結ぶと、△ABC は高さ rr の3つの三角形に分かれる

内心 I から3辺までの距離は、どれも内接円の半径 rr です。△ABC を △IBC、△ICA、△IAB の3つに分けると、それぞれ底辺 a, b, ca,\ b,\ c、高さ rr なので、

S=12ar+12br+12cr=12r(a+b+c)∴ r=2Sa+b+cS=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr=\frac12r(a+b+c)\qquad\therefore\ r=\frac{2S}{a+b+c}

3辺 3, 4, 5 の直角三角形なら S=6S=6、r=1212=1r=\dfrac{12}{12}=1。

外接円の半径 R の公式

外心ABCR＝5/2斜辺が直径
直角三角形の外接円は、斜辺が直径（外心は斜辺の中点）

R=a2sin⁡AR=\dfrac{a}{2\sin A} は正弦定理そのものです。直角三角形なら A=90∘A=90^\circ の向かいの辺（斜辺）が a=2Ra=2R、つまり斜辺が直径になります（円周角の定理：直径に対する円周角は90°）。3, 4, 5 の直角三角形では R=52R=\dfrac52。

直角三角形の内接円は、もっと簡単に r=(直角をはさむ2辺の和)−(斜辺)2r=\dfrac{(\text{直角をはさむ2辺の和})-(\text{斜辺})}{2} でも求まります（3+4−52=1\dfrac{3+4-5}{2}=1）。接線の長さが等しいことから分かります。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

大学受験

例題1（3辺から両方を求める）

a=7a=7、b=5b=5、c=3c=3 の △ABC の外接円の半径 RR と内接円の半径 rr を求めなさい。

解き方

余弦定理 cos⁡A=52+32−722⋅5⋅3=−12\cos A=\dfrac{5^2+3^2-7^2}{2\cdot5\cdot3}=-\dfrac12 より A=120∘A=120^\circ、sin⁡A=32\sin A=\dfrac{\sqrt3}{2}。

R=72⋅32=733R=\dfrac{7}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{7\sqrt3}{3}。面積 S=12⋅5⋅3⋅sin⁡120∘=1534S=\dfrac12\cdot5\cdot3\cdot\sin120^\circ=\dfrac{15\sqrt3}{4}。

r=2S7+5+3=153/215=32r=\dfrac{2S}{7+5+3}=\dfrac{15\sqrt3/2}{15}=\dfrac{\sqrt3}{2}。

答え　R=733R=\dfrac{7\sqrt3}{3}、r=32r=\dfrac{\sqrt3}{2}

大学受験

例題2（正三角形）

1辺が 66 の正三角形の外接円と内接円の半径を求めなさい。

解き方

R=62sin⁡60∘=63=23R=\dfrac{6}{2\sin60^\circ}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3。S=34⋅36=93S=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot36=9\sqrt3、r=18318=3r=\dfrac{18\sqrt3}{18}=\sqrt3。

正三角形では外心と内心が一致し、R=2rR=2r になります。

答え　R=23R=2\sqrt3、r=3r=\sqrt3

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

asin⁡A\dfrac{a}{\sin A} は直径 2R2R だ。RR と思うと答えが2倍になるぞ。

  • R=asin⁡AR=\dfrac{a}{\sin A} とする：asin⁡A\dfrac{a}{\sin A} は直径 2R2R。
  • r=Sa+b+cr=\dfrac{S}{a+b+c} とする：分子は 2S2S（12\dfrac12 を忘れない）。
  • 外心と内心を取りちがえる：外心は垂直二等分線、内心は角の二等分線。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

直角三角形なら、斜辺が外接円の直径だね

  1. 大学受験 3辺が 5, 12, 13 の直角三角形の外接円と内接円の半径を求めなさい。
    答えと解説を見るR=132R=\dfrac{13}{2}、S=30S=30、r=6030=2r=\dfrac{60}{30}=2
  2. 大学受験 △ABC で a=6a=6、A=30∘A=30^\circ のとき、外接円の半径を求めなさい。
    答えと解説を見るR=62⋅12=6R=\dfrac{6}{2\cdot\frac12}=6。答え 66
  3. 大学受験 3辺が 13, 14, 15 の三角形の面積は 84 です。内接円の半径を求めなさい。
    答えと解説を見るr=16842=4r=\dfrac{168}{42}=4。答え 44

関連する公式

よくある質問

内接円の半径の公式は？

r=2S/(a+b+c) です。Sは三角形の面積、a, b, c は3辺の長さです。

外接円の半径の公式は？

R=a/(2sinA) です。正弦定理 a/sinA=2R から求めます。

内接円の半径の公式はなぜ成り立つのですか？

内心と3頂点を結ぶと、高さrの3つの三角形に分かれ、面積の和が S=r(a+b+c)/2 になるからです。

直角三角形の外接円の半径は？

斜辺が直径になるので、斜辺の半分です。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦