角の二等分線の定理｜BD:DC=AB:AC の証明（平行線・面積比）と外角・内心の例題【高校受験〜大学受験】

うかるくん

角の二等分線で分けた $BD:DC$ は、どの2辺の比と同じになるの？

合格先生

角をはさむ2辺 $AB:AC$ だ。平行線を引いて二等辺三角形を作ると証明できるぞ。

角の二等分線の定理

例：$AB=6$、$AC=4$、$BC=5$ なら、$BD:DC=6:4=3:2$ なので $BD=5\times\dfrac35=3$、$DC=2$。

証明1：平行線を引いて二等辺三角形を作る

C を通って AD に平行な直線を引き、BA の延長との交点を E とします。

• $AD\parallel EC$ なので、同位角から $\angle BAD=\angle AEC$、錯角から $\angle DAC=\angle ACE$。
• AD は二等分線なので $\angle BAD=\angle DAC$。よって $\angle AEC=\angle ACE$ となり、$\triangle ACE$ は二等辺三角形で $AE=AC$。
• $\triangle BEC$ で $AD\parallel EC$ なので、平行線と線分の比より $BD:DC=BA:AE$。

$AE=AC$ を入れて $BD:DC=AB:AC$。

証明2：面積の比で考える

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は、底辺 BD、DC に対する高さが同じ（A から BC への垂線）なので、面積の比は $BD:DC$。

一方、D から AB、AC に下ろした垂線の長さは等しい（角の二等分線上の点は2辺から等距離）ので、同じ2つの三角形を底辺 AB、AC で見ると、面積の比は $AB:AC$。

（面積の公式 $\dfrac12bc\sin A$ を使っても、$\dfrac12AB\cdot AD\sin\dfrac A2:\dfrac12AC\cdot AD\sin\dfrac A2=AB:AC$ とすぐ分かります）

高校受験での使い方

中学の教科書では発展的な内容として扱われることが多いですが、高校入試の図形問題ではよく使われます。上の証明1は「平行線と線分の比」と「二等辺三角形」を組み合わせた、入試の証明問題の典型です。

大学受験（数学A）での使い方

数学A「図形の性質」で、内角・外角の二等分線と辺の比を学びます。三角形の内心（内角の二等分線の交点）の位置をベクトルで表す問題や、比を使って面積を求める問題で必須です。

よくある間違い

合格先生

比の向きを逆にしない。B の側の BD には、B の側の辺 AB が対応するんだ。

• 比の向きを逆にする：B の側の BD は、B の側の辺 AB に対応する。
• 二等分線でないのに使う：$\angle A$ を二等分していることを必ず確かめる。
• 外角の二等分線の位置：E は辺 BC 上ではなく延長上にある。

練習問題

うかるくん

辺の比が分かれば、BD の長さも出せるね。

1. 高校受験 $AB=9$、$AC=6$、$BC=10$ の三角形で、$\angle A$ の二等分線と BC の交点 D について、DC を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $BD:DC=9:6=3:2$。$DC=10\times\dfrac25=4$。答え $4$
2. 大学受験 $AB=AC$ の二等辺三角形で、頂角 A の二等分線は BC をどんな比に分けますか。
   答えと解説を見る

   $BD:DC=AB:AC=1:1$。二等分線は底辺の中点を通る。答え $1:1$

関連する公式

• 中点連結定理
• 相似比と面積比・体積比
• 三角形・平行四辺形の面積（面積の比での証明）
• 平行線と角
• メネラウスの定理・チェバの定理
• 三角形の合同条件
• 外接円・内接円の半径
• 軌跡（アポロニウスの円）
• 三角形の五心（内心）

よくある質問

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