メネラウスの定理・チェバの定理｜(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1 の証明（面積比・平行線）と使い分けの例題【大学受験 数学A】

うかるくん

メネラウスとチェバ、どっちをいつ使うのか分からないよ。

合格先生

1点から出る3本の線ならチェバ、三角形を横切る1本の直線ならメネラウスだ。

チェバの定理

証明：面積の比で

$\triangle ABO$ と $\triangle ACO$ は、AO を共通の底辺と見ると、高さの比が「B と C から直線 AP までの距離の比」で、これは $BP:PC$ に等しくなります。よって

3つをかけると、分子と分母の三角形がすべて約分されて1になります（$\triangle ABO=\triangle BAO$ など）。

メネラウスの定理

証明：平行線を引く

C を通って直線 PQR に平行な直線を引き、AB との交点を D とします。平行線と線分の比より、

これらと $\dfrac{AR}{RB}$ をかけると、$\dfrac{BR}{RD}\cdot\dfrac{DR}{RA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$。分子・分母がすべて消えます。

使い分けと覚え方

• チェバ：三角形の内部（外部）の1点から出る3本の線。
• メネラウス：三角形を横切る1本の直線（と三角形）。
• どちらも「頂点からスタートして、分点、頂点、分点…と1周」して比をかける。式を書く前に、どの三角形とどの直線を使うかを決めるのがコツ。

高校受験でも

中学の教科書にはありませんが、高校入試の図形の比の問題で知っていると速く解ける場面があります。ただし記述では、平行線と線分の比や面積比で説明できるようにしておきましょう（上の証明そのもの）。

大学受験（数学A）での使い方

よくある間違い

合格先生

1周の順番がくずれるのは×だ。頂点と分点を交互に、ぐるっと1周しよう。

• 1周の順番がくずれる：頂点と分点を交互に、ぐるっと1周。
• メネラウスで使う三角形と直線の選び方：求めたい比の線分が三角形の辺（またはその一部）になるように選ぶ。

練習問題

うかるくん

頂点→分点→頂点と、指でなぞればいいんだ！

1. 大学受験 三角形 ABC の内部の点 O について、AR:RB＝1:1、BP:PC＝1:1 のとき、CQ:QA を求めなさい（チェバ）。
   答えと解説を見る

   $1\cdot1\cdot\dfrac{CQ}{QA}=1$。答え $1:1$（重心のとき）
2. 大学受験 例題1の三角形で、BO:OQ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   三角形 BQC と直線 AP：$\dfrac{BO}{OQ}\cdot\dfrac{QA}{AC}\cdot\dfrac{CP}{PB}=1$。$QA:AC=2:3$、$CP:PB=3:2$ なので $\dfrac{BO}{OQ}\cdot\dfrac23\cdot\dfrac32=1$。答え $1:1$

関連する公式

• 角の二等分線と辺の比
• 相似比と面積比
• 三角形の面積（高さが同じなら面積比＝底辺の比）
• 中点連結定理
• 位置ベクトルと内分点・外分点

よくある質問

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