三角形・平行四辺形の面積の公式｜底辺×高さ÷2の理由・等積変形・½bc sinA・座標の面積と例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

三角形の面積は、平行四辺形とちがってなんで「÷2」がつくの？

合格先生

同じ三角形を2つ合わせると平行四辺形になる。三角形はその半分だから÷2だ。

三角形と平行四辺形の面積の公式

なぜこの公式になるのか

平行四辺形：左はしの直角三角形を切り取って右はしへ移すと、たて＝高さ、横＝底辺の長方形になります。面積は変わらないので「底辺×高さ」。

三角形：同じ三角形をもう1つ用意して、さかさまにくっつけると平行四辺形になります。三角形はその半分なので「底辺×高さ÷2」。

等積変形：高さが同じなら面積は同じ

底辺が同じで、頂点が底辺に平行な直線の上にあれば、高さが同じなので面積も同じです。これを等積変形といい、中学受験・高校入試の面積の問題で大活躍します。逆に、面積が等しい三角形の頂点を結ぶ線は、底辺と平行です。

中学受験（算数）での使い方

三角形・平行四辺形の面積は小学5年で学びます。中学受験では、等積変形、高さが同じ三角形の面積比＝底辺の比、補助線で分けて考える問題が定番です。

高校受験（中学数学）での使い方

座標平面上の三角形の面積は、高校入試の関数の問題でいちばんよく出ます。$y$ 軸で2つに分けるか、大きな長方形から引くのが基本です。

大学受験での使い方

数学Ⅰでは、2辺とその間の角から面積を求める公式を学びます。

理由：辺 $b$ を底辺とすると、高さは $c\sin A$（A から見た垂線の長さ）だからです。座標では、次の公式が便利です。

証明：$\vec{OA}$、$\vec{OB}$ のなす角を $\theta$ とすると、$S=\dfrac12|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta=\dfrac12\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-(\vec{OA}\cdot\vec{OB})^2}$。中身を計算すると $(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2=(x_1y_2-x_2y_1)^2$ となり、公式が出ます。

よくある間違い

合格先生

ななめの辺を高さにしない。高さは底辺に垂直なきょりだ。

• ななめの辺を高さにする：高さは底辺に垂直。
• 三角形で÷2を忘れる。
• 高さが図の外にある：鈍角三角形では、高さが底辺をのばした所に下りることがある。

練習問題

合格先生

頂点を底辺と平行に動かしても、面積は同じだぞ。

1. 中学受験 底辺 9 cm、高さ 6 cm の平行四辺形と、同じ底辺・高さの三角形の面積をそれぞれ求めなさい。
   答えと解説を見る

   平行四辺形 $9\times6=54$、三角形 $54\div2=27$。答え $54\text{ cm}^2$、$27\text{ cm}^2$
2. 高校受験 3点 $(0,\ 0)$、$(6,\ 0)$、$(2,\ 5)$ を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   底辺 $6$（$x$ 軸上）、高さ $5$。$6\times5\div2=15$。答え $15$
3. 大学受験 $b=4$、$c=7$、$A=150^\circ$ の三角形の面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac12\times4\times7\times\sin150^\circ=14\times\dfrac12=7$。答え $7$

関連する公式

• 台形の面積の公式
• 正弦定理・余弦定理
• 一次関数（座標と面積）
• 相似比と面積比・体積比
• 外接円・内接円の半径
• 等積変形
• 点の移動とグラフ
• 三角形の面積（ヘロンの公式）
• 面積比と辺の比

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• 補助線引けば秒殺！正六角形と台形の面積問題
  補助線で三角形に分けて面積を求める問題

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）