台形の面積の公式｜（上底＋下底）×高さ÷2 になる理由・高さの求め方と例題【中学受験〜大学受験】

Q: 台形の面積は何年生で習いますか？

小学5年生で習います。

中学受験高校受験大学受験

S=\frac{(a+b)h}{2}

$a$ ：上底　 $b$ ：下底　 $h$ ：高さ

この公式のポイント

台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2
同じ台形を2つ並べると平行四辺形。だから÷2
高さは平行な2辺の間のきょり（ななめの辺ではない）
等差数列の和の公式と同じ形。積分の近似（台形公式）にもつながる

うかるくん

台形の面積の公式には、どうして最後に÷2がつくの？

合格先生

同じ台形を2つ並べると、底辺が上底＋下底の平行四辺形になる。その半分だからだ。

台形の面積の公式

台形は、1組の向かい合う辺が平行な四角形です。平行な2辺を上底・下底、その間のきょりを高さといいます。

台形の面積

S=\frac{(a+b)h}{2}

台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2

記号	意味
$a$	上底（上の平行な辺）
$b$	下底（下の平行な辺）
$h$	高さ（平行な2辺の間のきょり。辺の長さではない）

なぜこの公式になるのか

考え方1：2つ並べて平行四辺形にする

同じ台形をさかさまにしてくっつけると、底辺が「上底＋下底」の平行四辺形

平行四辺形の面積は「（上底＋下底）×高さ」。台形はその半分なので、÷2 をします。

考え方2：対角線で2つの三角形に分ける

対角線を1本引くと、底辺 $a$ の三角形と底辺 $b$ の三角形に分かれ、どちらも高さは $h$ です。

\frac{ah}{2}+\frac{bh}{2}=\frac{(a+b)h}{2}

上底を0にすると三角形の面積（底辺×高さ÷2）、上底＝下底にすると平行四辺形の面積（底辺×高さ）になります。台形の公式は、三角形と平行四辺形の公式をまとめたものです。

中学受験（算数）での使い方

台形の面積は小学5年で学びます。中学受験では、高さを求める逆算や、台形を分けた面積比、そして「上底＋下底」を使う等差数列の和との関係もよく出ます。

中学受験

例題1（基本）

上底 4 cm、下底 10 cm、高さ 6 cm の台形の面積を求めなさい。

解き方

$(4+10)\times6\div2=42$ （cm²）。

答え　 $42\text{ cm}^2$

中学受験

例題2（逆算）

面積が 45 cm²、上底 4 cm、下底 11 cm の台形の高さを求めなさい。

解き方

$(4+11)\times\text{高さ}\div2=45$ より、高さ＝ $45\times2\div15=6$ （cm）。

答え　 $6$ cm

等差数列の和「（はじめ＋おわり）×個数÷2」は、台形の面積と同じ形です。

高校受験（中学数学）での使い方

中学では、座標平面上の台形や、三平方の定理で高さを求める問題がよく出ます。

高校受験

例題3（等脚台形）

上底 4 cm、下底 10 cm、ななめの2辺がどちらも 5 cm の台形（等脚台形）の面積を求めなさい。

解き方

上底の両はしから下底に垂線を下ろすと、両側に底辺 $(10-4)\div2=3$ 、ななめの辺 $5$ の直角三角形ができます。

高さは $\sqrt{5^2-3^2}=4$ 。面積は $(4+10)\times4\div2=28$ （cm²）。

答え　 $28\text{ cm}^2$

大学受験（数学Ⅲ）では：台形公式

積分の値を近似するときに、グラフの下を細い台形で区切って面積を足す方法を台形公式といいます。区間 $[a,\ b]$ を $n$ 等分（幅 $h$ ）すると、

\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\}

y=x^2

の下の面積を、2つの台形で近似した図

大学受験

例題4（台形公式）

\displaystyle\int_0^1x^2\,dx

を、区間を2等分した台形公式で近似しなさい。また、本当の値と比べなさい。

解き方

$h=0.5$ 、 $f(0)=0$ 、 $f(0.5)=0.25$ 、 $f(1)=1$ 。

$\dfrac{0.5}{2}(0+2\times0.25+1)=0.25\times1.5=0.375$ 。

本当の値は $\dfrac{1}{3}=0.333\cdots$ 。グラフが下にふくらんでいるので、台形の方が少し大きくなります。

答え　 $0.375$ （本当の値は $\dfrac{1}{3}$ ）

よくある間違い

合格先生

ななめの辺を高さにするな。高さは平行な2辺に垂直なきょりだ。

ななめの辺を高さにする：高さは平行な2辺に垂直なきょりです。
÷2 を忘れる：（上底＋下底）×高さは平行四辺形2つ分（台形2つ分）。
上底と下底の向き：図が横向きでも、平行な2辺が「上底」と「下底」です。

練習問題

うかるくん

上底＋下底、×高さ、÷2。声に出して確かめるよ

中学受験上底 7 cm、下底 13 cm、高さ 8 cm の台形の面積を求めなさい。
答えと解説を見る
$(7+13)\times8\div2=80$ 。答え $80\text{ cm}^2$
中学受験面積 60 cm²、高さ 8 cm、上底 6 cm の台形の下底を求めなさい。
答えと解説を見る
上底＋下底＝ $60\times2\div8=15$ 、下底＝ $15-6=9$ 。答え $9$ cm
高校受験座標平面上の4点 $(0,\ 0)$ 、 $(8,\ 0)$ 、 $(6,\ 4)$ 、 $(2,\ 4)$ を頂点とする台形の面積を求めなさい。
答えと解説を見る
下底 $8$ 、上底 $6-2=4$ 、高さ $4$ 。 $(4+8)\times4\div2=24$ 。答え $24$

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よくある質問

台形の面積の公式は？

（上底＋下底）×高さ÷2 です。上底を a、下底を b、高さを h とすると S=(a+b)h/2 です。

なぜ2で割るのですか？

同じ台形を2つ、1つをさかさまにして並べると、底辺が上底＋下底の平行四辺形になるからです。台形はその半分です。

台形の高さの求め方は？

面積×2÷（上底＋下底）で求めます。等脚台形などでは三平方の定理を使って求めることもあります。

台形の面積は何年生で習いますか？