等積変形とは｜平行線上で頂点を動かしても面積が同じ理由・四角形を三角形に変える方法・台形の対角線の例題【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

PQ\parallel BC\ \Longleftrightarrow\ \triangle PBC=\triangle QBC

P、Q は BC の同じ側

この公式のポイント

頂点を底辺に平行な直線の上で動かしても面積は同じ
理由：底辺も高さも変わらない
台形の対角線では同じ面積から共通部分を引く
どんな多角形も同じ面積の三角形に変えられる

うかるくん

頂点を動かしても、三角形の面積が変わらないのはなぜ？

合格先生

底辺に平行な直線の上なら、高さはいつも同じだ。底辺も同じだから、面積は変わらないぞ。

等積変形の考え方

等積変形は、図形の面積を変えずに形を変える方法です。面積を求めにくい図形を、求めやすい形に変えるときに使います。

等積変形の基本

底辺が共通で、頂点が底辺に平行な直線上にある三角形は、面積が等しい

$PQ\parallel BC$ なら $\triangle PBC=\triangle QBC$ 。逆に、面積が等しければ $PQ\parallel BC$ 。

頂点 A を BC に平行な直線にそって動かしても、三角形の面積は同じ

証明：底辺と高さが同じだから

三角形の面積は $\dfrac12\times\text{底辺}\times\text{高さ}$ （三角形の面積）。頂点 A が BC に平行な直線の上を動くと、A と BC の距離（高さ）は平行線の間の距離なのでいつも同じ。底辺 BC も同じなので、面積は変わりません。

逆に、同じ側にある2つの三角形 △PBC と △QBC の面積が等しければ、高さが等しいので P と Q は BC から同じ距離にあり、 $PQ\parallel BC$ です。

四角形を同じ面積の三角形に変える

D を通り AC に平行な直線と、BC の延長との交点を E とする

△ACD と △ACE は底辺 AC が共通で、D と E は AC に平行な直線上にあるので面積が等しい。だから $\text{四角形}ABCD=\triangle ABC+\triangle ACD=\triangle ABC+\triangle ACE=\triangle ABE$ 。くり返せば、どんな多角形も同じ面積の三角形に変えられます。

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（台形の対角線）

台形 ABCD（AD と BC が平行）の対角線の交点を O とします。△ABO の面積が 12 cm² のとき、△DCO の面積を求めなさい。

解き方

△ABC と △DBC は底辺 BC が共通で、A と D は BC に平行な直線上にあるので面積が等しい。

両方から共通の △OBC を引くと △ABO＝△DCO。答えは 12 cm²。

答え　 $12\text{ cm}^2$

中学受験

例題2（平行四辺形）

平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に点 P をとります。平行四辺形の面積が 60 cm² のとき、△PBC の面積を求めなさい。

解き方

P がどこにあっても、底辺 BC、高さは平行四辺形と同じ。△PBC は平行四辺形の半分で 30 cm²。

答え　 $30\text{ cm}^2$

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（座標）

A(0,\ 6)

、

B(-3,\ 0)

、

C(3,\ 0)

があります。

x

軸上の点 P で、△PAC の面積が △BAC と等しくなる P（B 以外）の座標を求めなさい。

解き方

△PAC＝△BAC なら、底辺 AC が共通なので P は「B を通り AC に平行な直線」上にあります（AC の反対側なら、AC についての対称な位置）。

同じ側では $x$ 軸上の点は B だけなので、反対側を考えます。AC と $x$ 軸の交点は C なので、P は C について B と対称な点 $(9,\ 0)$ 。確かめ：△PAC＝ $\dfrac12\times6\times6=18$ 、△BAC＝ $\dfrac12\times6\times6=18$ 。

答え　 $P(9,\ 0)$

よくある間違い

合格先生

平行でない直線の上で頂点を動かすと、高さが変わって面積も変わってしまうぞ。

平行でない直線上で頂点を動かす：高さが変わる。
共通部分を引き忘れる：台形の問題は「同じ面積の三角形から共通部分を引く」。

練習問題

サクラちゃん

台形は、共通部分を引けばいいんだね。

中学受験長方形 ABCD（たて 8 cm、横 12 cm）の辺 AD 上の点 P と B、C を結んだ三角形の面積を求めなさい。
答えと解説を見る
$12\times8\div2=48$ 。答え $48\text{ cm}^2$
中学受験台形 ABCD（AD∥BC）で、対角線の交点を O とすると △AOB＝15 cm² でした。△DOC の面積は？
答えと解説を見る
△ABC＝△DBC から △OBC を引く。答え $15\text{ cm}^2$
高校受験 △ABC の辺 BC 上に点 D をとると BD：DC＝2：3 です。△ABD の面積が 10 のとき △ABC の面積は？
答えと解説を見る
高さ共通で面積の比は底辺の比。 $10\times\dfrac52=25$ 。答え $25$

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よくある質問

等積変形とは？

面積を変えずに図形の形を変える方法です。底辺が共通で、頂点が底辺に平行な直線上にある三角形は面積が等しいことを使います。

なぜ面積が変わらないのですか？

平行線の間の距離はどこでも同じなので、頂点を平行線にそって動かしても高さが変わらず、底辺も同じだからです。

台形の対角線でできる三角形の面積は？

台形ABCD（AD∥BC）の対角線の交点をOとすると、△ABOと△DCOの面積は等しくなります。