一次関数 y=ax+b｜傾き・切片・変化の割合の意味と証明、式の求め方と例題【高校受験〜大学受験】

うかるくん

一次関数のグラフは、どうしてまっすぐな直線になるの？

合格先生

変化の割合がどこでも $a$ だからだ。$x$ が1増えるたびに、$y$ は同じだけ変わるぞ。

一次関数とは

$y$ が $x$ の一次式で表される関数を一次関数といいます。

比例 $y=ax$ は、一次関数で $b=0$ の特別な場合です。グラフは原点を通る直線を、$y$ 軸方向に $b$ だけずらしたものになります。

なぜ変化の割合がいつも a なのか（証明）

$x$ が $x_1$ から $x_2$ まで変わるとき、$y$ は $ax_1+b$ から $ax_2+b$ まで変わります。

$b$ が引き算で消え、どの区間をとっても値は $a$ になります。変化の割合が一定だから、グラフは曲がらずにまっすぐな直線になるのです。

式の求め方

傾きと1点が分かるとき

傾き $a$、点 $(x_1,\ y_1)$ を通る直線は、$y-y_1=a(x-x_1)$。これは「$(x_1,\ y_1)$ から $x$ が $x-x_1$ 増えると、$y$ は $a(x-x_1)$ 増える」ことを式にしたものです。

2点が分かるとき

2点 $(x_1,\ y_1)$、$(x_2,\ y_2)$ を通るとき、傾きは $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。あとは上の式に入れます。

高校受験（中学2年）での使い方

一次関数は中学2年で学びます。高校入試では、式を求める、2直線の交点（＝連立方程式の解）、三角形の面積、動く点の問題がよく出ます。

大学受験（数学Ⅱ）では：直線の方程式

数学Ⅱの「図形と方程式」では、一次関数を直線の方程式として扱い、$ax+by+c=0$ の形も使います（$y$ 軸に平行な直線 $x=k$ も表せる）。2直線が平行なら傾きが等しく、垂直なら傾きの積が $-1$ です。

よくある間違い

合格先生

切片を $x$ 軸との交点にしてしまう。切片は $y$ 軸との交点だ。

• 傾きの分母と分子を逆にする：傾き＝$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量。
• 引く順番をそろえない：$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ のように、分子と分母で同じ点から引く。
• 切片を $x$ 軸との交点にする：切片は $y$ 軸との交点。

練習問題

サクラちゃん

2点を通る直線は、まず傾きを求めるのね。

1. 高校受験 傾きが $-2$ で点 $(3,\ 1)$ を通る直線の式を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $y-1=-2(x-3)$ より $y=-2x+7$。答え $y=-2x+7$
2. 高校受験 一次関数 $y=ax+3$ のグラフが点 $(2,\ -1)$ を通るとき、$a$ の値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $-1=2a+3$ より $a=-2$。答え $a=-2$
3. 大学受験 2点 $(-1,\ 4)$、$(3,\ -4)$ を通る直線に平行で、原点を通る直線の式を求めなさい。
   答えと解説を見る

   傾きは $\dfrac{-4-4}{3-(-1)}=-2$。原点を通るので $y=-2x$。答え $y=-2x$

関連する公式

• 比例・反比例の式（比例は $b=0$ の一次関数）
• 二次関数の頂点（平方完成）
• 速さ・時間・道のり（ダイヤグラム）
• 点と直線の距離
• 旅人算
• 連立方程式の解き方
• 点の移動とグラフ
• 接線の方程式
• 放物線と直線
• 変化の割合

よくある質問

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