変化の割合の公式 a(p+q)｜y=ax²の変化の割合の求め方と証明・平均の速さ・一次関数とのちがいと例題【高校受験】

うかるくん

y＝ax² の変化の割合って、一次関数みたいに a じゃないの？

合格先生

ちがう。x が p から q まで増えるときは a(p＋q) だ。q²−p² を因数分解して約分すると出てくるぞ。

変化の割合の公式（y＝ax²）

変化の割合は「$x$ が増えた分に対して、$y$ がどれだけ増えたか」を表す数です。関数 $y=ax^2$ では、計算しなくても公式1つで求められます。

証明

$x=p$ のとき $y=ap^2$、$x=q$ のとき $y=aq^2$ です。

とちゅうで、因数分解 $q^2-p^2=(q+p)(q-p)$ を使いました。$p\neq q$ なので $q-p$ で約分できます。

一次関数 $y=ax+b$ の変化の割合は、どこでも一定で $a$ でした。$y=ax^2$ の変化の割合 $a(p+q)$ は、$p$ と $q$ によって変わります。グラフが曲がっているので、区間ごとに傾きがちがうからです。

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

変化の割合を a と答えるのは一次関数だけだ。y＝ax² では区間によって変わるぞ。

• $y=ax^2$ の変化の割合を $a$ と答える：$a$ になるのは一次関数だけ。$y=ax^2$ では $a(p+q)$ で、区間によって変わる。
• 分母と分子を逆にする：変化の割合は（$y$ の増加量）÷（$x$ の増加量）。
• 負の数の計算で符号をまちがえる：$p+q$ はかっこをつけて $\{(-4)+(-1)\}$ のように計算する。

練習問題

合格先生

a に、はじめと終わりの x の和をかける。これだけだ。

1. 高校受験 関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ で、$x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
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   $\dfrac{1}{2}\times(2+6)=4$。確かめ：$\dfrac{18-2}{6-2}=4$。答え $4$
2. 高校受験 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $-2$ から $4$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ でした。$a$ の値を求めなさい。
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   $a\times(-2+4)=2a=-6$ より $a=-3$。確かめ：$x=-2$ で $y=-12$、$x=4$ で $y=-48$、$\dfrac{-48-(-12)}{6}=-6$。答え $a=-3$
3. 高校受験 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が、一次関数 $y=4x+1$ の変化の割合と等しくなりました。$a$ の値を求めなさい。
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   一次関数の変化の割合は4。$a\times(1+3)=4a=4$ より $a=1$。答え $a=1$

関連する公式

• 放物線と直線（直線の傾き a(p＋q)）
• 一次関数 y＝ax＋b（変化の割合が一定）
• 平均の速さ
• 比例・反比例
• 微分の公式（平均変化率から微分係数へ。大学受験）
• 平均値の定理（大学受験）

よくある質問

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