平均値の定理｜平行な接線という図の意味・ロルの定理からの証明・不等式の証明と極限の例題【数学Ⅲ・大学受験】

うかるくん

平均値の定理の $c$ って、$a$ と $b$ のまん中のことなの？

合格先生

まん中とはかぎらない。ふつうは $c$ の値までは分からず、$a<c<b$ という範囲を使うんだ。

平均値の定理

左辺 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ は平均変化率（平均の速さ）、右辺 $f'(c)$ は微分係数（その瞬間の速さ）です。「平均時速60kmで走ったなら、どこかの瞬間にちょうど時速60kmだった」というのが、この定理の気持ちです。

証明（ロルの定理から）

ロルの定理：$f(x)$ が $a\le x\le b$ で連続、$a<x<b$ で微分可能で、$f(a)=f(b)$ ならば、$f'(c)=0$（$a<c<b$）となる $c$ がある。

（ロルの定理の理由）$f$ が定数なら、どの $c$ でも $f'(c)=0$。定数でなければ、閉区間で連続な関数は最大値・最小値をとるので（高校ではこの事実を認めて使います）、$f(a)$ と異なる最大値または最小値を区間の内側の点 $c$ でとります。$c$ で最大なら、$h>0$ で $\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0$、$h<0$ で $\ge0$。$h\to0$ とするとどちらも $f'(c)$ なので $f'(c)=0$。最小でも同じです。

平均値の定理の証明：弦の傾きを $k=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ とし、曲線の高さから弦の高さを引いた関数

を考えます。$g(a)=0$、$g(b)=f(b)-f(a)-k(b-a)=0$ なので $g(a)=g(b)$。$g$ も連続・微分可能なので、ロルの定理から $g'(c)=0$（$a<c<b$）となる $c$ があります。$g'(x)=f'(x)-k$ なので $f'(c)=k$。これが平均値の定理です。

つまり「弦と平行な接線」は、「曲線と弦のすき間がいちばん大きくなる場所」で引ける接線です。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

入試では、不等式の証明と極限でよく使います。差 $f(b)-f(a)$ を見つけたら、$f'(c)(b-a)$ に置きかえ、$c$ の範囲 $a<c<b$ から評価するのが定番です。

よくある間違い

合格先生

条件を確かめずに使うな。$f(x)=|x|$ は $x=0$ で微分できず、$f'(c)=0$ の $c$ がない。

• 条件を確かめない：$f(x)=|x|$（$-1\le x\le1$）では弦の傾きは0ですが、$f'(c)=0$ となる $c$ はありません。$x=0$ で微分可能でないからです。
• $c$ はまん中だと思う：$c=\dfrac{a+b}{2}$ になるのは2次関数などの特別な場合。ふつうは $c$ の値までは分からず、範囲 $a<c<b$ だけを使います。
• $c$ が1つと決めつける：「少なくとも1つ」です。図1のように2つ以上あることもあります。

練習問題

合格先生

弦 AB と平行な接線が引ける、と図で覚えよう。

1. 大学受験 $f(x)=x^3$、区間 $0\le x\le3$ で、平均値の定理の $c$ を求めなさい。
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   $\dfrac{27-0}{3}=9=3c^2$ より $c^2=3$。$0<c<3$ なので $c=\sqrt3$
2. 大学受験 $a<b$ のとき、$e^a(b-a)<e^b-e^a<e^b(b-a)$ を証明しなさい。
   答えと解説を見る

   $f(x)=e^x$ に平均値の定理：$e^b-e^a=e^c(b-a)$、$a<c<b$。$e^x$ は増加なので $e^a<e^c<e^b$。$b-a>0$ をかけて完成
3. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\{\log(x+1)-\log x\}$ を求めなさい。
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   平均値の定理で $\log(x+1)-\log x=\dfrac1c$（$x<c<x+1$）。$\dfrac{x}{x+1}<\dfrac{x}{c}<1$ で、左はしは $1$ に近づくので、はさみうちで答え $1$

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よくある質問

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