ロピタルの定理の公式｜0/0・∞/∞の極限の求め方とコーシーの平均値の定理による証明・入試で使えるか【大学数学・東大京大レベル】

ロピタルの定理

$\dfrac00$ や $\dfrac{\infty}{\infty}$ の形の極限（不定形）を、分子と分母をそれぞれ微分した比の極限に置きかえて求める定理です。

図1の例では、$\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}$ は $x=0.3$ で $2.78\cdots$、$x=0.1$ で $2.21\cdots$、$x=0.01$ で $2.02\cdots$ と、$2$ に近づいていきます。

証明

① いちばん簡単な場合（微分係数の定義だけで示せる）

$f(a)=g(a)=0$ で、$f'(a),\ g'(a)$ があり $g'(a)\neq0$ のとき、$x\neq a$ で

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}\ \longrightarrow\ \frac{f'(a)}{g'(a)}\quad(x\to a)$$

分子と分母がそれぞれ微分係数（接線の傾き）に近づくので、比は傾きの比に近づきます。図1の見方そのものです。

② 一般の場合（$\frac00$ 形）：コーシーの平均値の定理

$f(a)=g(a)=0$ と決めておくと、$f,\ g$ は $a$ で連続です。$x>a$ をとり、

$$h(t)=f(t)g(x)-g(t)f(x)$$

とおくと、$h(a)=0$、$h(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)=0$。ロルの定理（平均値の定理の特別な場合）より、$h'(c)=0$ となる $c$（$a<c<x$）があります。$h'(c)=f'(c)g(x)-g'(c)f(x)=0$ なので

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\qquad(a<c<x)$$

（$g(x)\neq0$ です。もし $g(x)=0$ ならロルの定理で $g'=0$ となる点があり、仮定に反します。）これがコーシーの平均値の定理です。$x\to a$ のとき、間にある $c$ も $a$ に近づくので、右辺は $L$ に近づきます。$x<a$ も同じです。

$\dfrac{\infty}{\infty}$ 形の証明は同じ定理を使いますが、もう少し長くなるのでここでは省略します（考え方は同じで、「比＝ある点での微分の比」から極限を押さえます）。

大学受験での使い方

入試では答えの見当づけ・検算に使い、答案は高校の方法（既知の極限・微分係数の定義・はさみうち）で書くのが基本です（下の「高校の範囲をこえる内容と入試での使い方」を参照）。

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲：ロピタルの定理（とコーシーの平均値の定理）は高校の教科書の本文の範囲外です。大学の微分積分学で学びます。
• 答案での扱い：答案に使ってよいかどうかの採点基準は、大学ごとに公表されているわけではないので、ここでは分かりません。安全なのは、答案では高校の方法で示し、ロピタルの定理は答えの見当づけ・検算に使うことです。証明①の形（$f(a)=g(a)=0$、$g'(a)\neq0$）なら、微分係数の定義を使って答案の中で示すこともできます。
• 循環論法に注意：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ をロピタルの定理で「$\dfrac{\cos x}{1}\to1$」と求めるのは、高校の流れでは循環論法です。$(\sin x)'=\cos x$ を導くときに、この極限を使っているからです。
• 入試の背景：難関大の入試では、$\dfrac{\log x}{x}\to0$ や $x\log x\to0$ のような極限を、はさみうちなどで示させる問題があります。ロピタルの定理で答えを先に知っておくと方針が立てやすくなります。

よくある間違い

• 不定形でないのに使う：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}=\frac12$ です。ここで分子・分母を微分して $\dfrac11=1$ とするのは誤り。$\dfrac00$ か $\dfrac{\infty}{\infty}$ かを必ず確かめます。
• 商の微分と混同する：使うのは $\left(\dfrac fg\right)'$ ではなく、分子と分母を別々に微分した $\dfrac{f'}{g'}$ です。
• $\dfrac{f'}{g'}$ の極限がないから「極限なし」とする：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}$ は、$\dfrac{1+\cos x}{1}$ の極限はありませんが、$1+\dfrac{\sin x}{x}\to1$ です。定理は「$\dfrac{f'}{g'}$ の極限があれば」という一方向だけです。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   微分すると $\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2x}-1}{3x^2}=\dfrac{\tan^2x}{3x^2}=\dfrac13\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^2\to\dfrac13$。答え $\dfrac13$
2. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{\sqrt x}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac{\infty}{\infty}$ 形。微分すると $\dfrac{\dfrac1x}{\dfrac{1}{2\sqrt x}}=\dfrac{2}{\sqrt x}\to0$。答え $0$
3. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac00$ 形。$(2^x)^{\prime}=2^x\log2$ なので $\dfrac{2^x\log2}{1}\to\log2$。答え $\log2$（$f(x)=2^x$ の $x=0$ での微分係数そのもの）

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よくある質問

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