平均の速さの求め方｜往復の平均は2ab/(a+b)・速さの平均にならない理由（面積図）と例題【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

\text{平均の速さ}=\frac{\text{全体の道のり}}{\text{全体の時間}}

往復なら $\dfrac{2ab}{a+b}$ （ $\dfrac{a+b}{2}$ ではない）

この公式のポイント

平均の速さ＝全体の道のり÷全体の時間
往復の平均は $\dfrac{2ab}{a+b}$ （調和平均）
遅いほうが時間が長いので、ふつうの平均より小さい
同じ時間ずつなら、ふつうの平均でよい

うかるくん

行きが60、帰りが40の速さなら、平均の速さは50じゃないの？

合格先生

全体の道のり÷全体の時間で求めるんだ。遅いほうが時間が長いから、ふつうの平均より小さくなるぞ。

平均の速さの公式

途中で速さが変わるとき、全体を通した平均の速さは、全体の道のりを全体の時間でわって求めます。速さどうしを足して2でわる（ふつうの平均）のはまちがいです。

平均の速さ

\text{平均の速さ}=\frac{\text{全体の道のり}}{\text{全体の時間}}

同じ道を行きは速さ $a$ 、帰りは速さ $b$ で往復したとき

\text{往復の平均の速さ}=\frac{2ab}{a+b}\quad\left(\text{ふつうの平均 }\frac{a+b}{2}\text{ ではない}\right)

120 km を行き時速60 km（2時間）、帰り時速40 km（3時間）。往復の平均は時速48 km

証明（なぜ速さの平均ではないのか）

往復の平均の速さ＝2ab/(a＋b)

片道の道のりを $d$ とします。行きにかかる時間は $\dfrac da$ 、帰りは $\dfrac db$ （時間＝道のり÷速さ）。全体の道のりは $2d$ なので

\text{平均の速さ}=\frac{2d}{\dfrac da+\dfrac db}=\frac{2}{\dfrac1a+\dfrac1b}=\frac{2ab}{a+b}

$d$ が消えるので、片道の道のりに関係なく決まります。この形を $a$ と $b$ の調和平均といいます（「速さの逆数」の平均の逆数）。

速さの平均にならない理由

面積図：たて＝速さ、横＝時間、面積＝道のり。遅い時速40 km のほうが横に長い

上の面積図で、たてが速さ、横が時間、面積が道のりです。往復では道のり（面積）は同じでも、遅いほうが時間（横の長さ）が長い。平均の速さは「面積の合計を横の長さの合計でならした高さ」なので、長く続いた遅いほうに引っぱられて、 $\dfrac{a+b}{2}$ より小さくなります（平均算の面積図と同じ考え方）。

式でも確かめられます。

\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\geqq0

だから往復の平均の速さは、いつもふつうの平均以下。等しくなるのは $a=b$ のときだけです（相加平均と相乗平均の仲間の不等式）。

逆に、同じ時間ずつ走ったときは、横の長さが同じなので平均の速さは $\dfrac{a+b}{2}$ （ふつうの平均）になります。「道のりが同じ」か「時間が同じ」かで答えが変わります。

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（往復の平均の速さ）

A町から B町まで 120 km の道を、行きは時速 60 km、帰りは時速 40 km で往復しました。往復の平均の速さは時速何 km ですか。

解き方

行きは $120\div60=2$ 時間、帰りは $120\div40=3$ 時間。往復 $240$ km を $5$ 時間なので、 $240\div5=48$ 。

（公式でも $\dfrac{2\times60\times40}{60+40}=48$ 。）

答え　時速 48 km

中学受験

例題2（道のりがわからない）

坂道を、上りは分速 30 m、下りは分速 70 m で往復しました。往復の平均の速さは分速何 m ですか。

解き方

片道の道のりを 30 と 70 の最小公倍数 2100 m と仮に決めます。上り 70 分、下り 30 分で、往復 4200 m を 100 分。 $4200\div100=42$ 。

道のりをどう決めても答えは同じです（公式 $\dfrac{2\times30\times70}{100}=42$ ）。

答え　分速 42 m

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（帰りの速さを求める）

行きは時速 4 km、帰りは時速

x

km で同じ道を往復したところ、往復の平均の速さが時速 4.8 km でした。

x

を求めなさい。

解き方

片道を $d$ km とすると、 $\dfrac{2d}{\dfrac d4+\dfrac dx}=4.8$ 。 $d$ を消すと $\dfrac{8x}{4+x}=4.8$ 。

$8x=19.2+4.8x$ 、 $3.2x=19.2$ 、 $x=6$ 。確かめ： $\dfrac{2\times4\times6}{10}=4.8$ 。

答え　 $x=6$

コラム：平均を時速60 kmにできない話

「行きを時速 30 km で走ってしまった。帰りをどれだけ速くすれば、往復の平均を時速 60 km にできるか」という有名な問題があります。片道 $d$ km なら、平均時速 60 km の往復は $\dfrac{2d}{60}=\dfrac{d}{30}$ 時間で終わる必要があります。ところが行きだけで $\dfrac{d}{30}$ 時間使っているので、帰りに使える時間は0。どんなに速くしても届きません。

よくある間違い

合格先生

往復なら $\dfrac{2ab}{a+b}$ 、同じ時間ずつなら $\dfrac{a+b}{2}$ 。何が同じか見落とすな。

速さを足して2でわる： $\dfrac{60+40}{2}=50$ はまちがい。全体の道のり÷全体の時間で求めます。
道のりと時間のどちらが同じかを見落とす：往復（道のりが同じ）なら $\dfrac{2ab}{a+b}$ 、同じ時間ずつ走ったなら $\dfrac{a+b}{2}$ 。
単位をそろえない：分速と時速、m と km がまざっていたら先にそろえます。

練習問題

うかるくん

往復なら $\dfrac{2ab}{a+b}$ の調和平均だね。

中学受験同じ道を、行きは時速 6 km、帰りは時速 3 km で往復しました。往復の平均の速さは？
答えと解説を見る
片道 6 km とすると、行き 1 時間・帰り 2 時間で 12 km を 3 時間。 $12\div3=4$ 。答え時速 4 km
中学受験はじめの 30 分を時速 6 km、次の 30 分を時速 10 km で歩きました。全体の平均の速さは？
答えと解説を見る
道のりは $3+5=8$ km、時間は 1 時間。答え時速 8 km（時間が同じなのでふつうの平均と同じ）
高校受験同じ道を、行きは時速 50 km、帰りは時速 75 km で往復しました。往復の平均の速さは？
答えと解説を見る
$\dfrac{2\times50\times75}{50+75}=\dfrac{7500}{125}=60$ 。答え時速 60 km

よくある質問

平均の速さの求め方は？

全体の道のりを全体の時間でわります。速さどうしを足して2でわるのはまちがいです。

行き時速60km、帰り時速40kmの往復の平均の速さは？

時速48kmです。たとえば片道120kmなら、往復240kmを2時間＋3時間＝5時間で走るので240÷5=48です。

なぜ往復の平均の速さは速さの平均にならないのですか？

遅い速さで走る時間のほうが長いので、平均が遅いほうに引っぱられるからです。往復の平均は2ab/(a+b)になります。