放物線と直線の公式｜y=ax²との交点・直線の式 y=a(p+q)x−apq の証明・三角形の面積の求め方と例題【高校受験】

うかるくん

放物線と直線の三角形、ななめの辺ばかりで面積が出せないよ。

合格先生

y軸で2つに分けるんだ。底辺はどちらも OC、高さは x 座標のきょりで、½×OC×(q−p) になるぞ。

放物線と直線の公式

放物線 $y=ax^2$ と直線が交わる問題は、高校入試の関数の大問でいちばんよく出る形です。交点の $x$ 座標さえ分かれば、直線の式も三角形の面積もすぐに求められます。

証明

直線 AB の傾きと切片

A$(p,\ ap^2)$、B$(q,\ aq^2)$ とします。傾きは

直線の式を $y=a(p+q)x+n$ とおいて A を通る条件を入れると、$ap^2=a(p+q)p+n$ より $n=ap^2-ap^2-apq=-apq$。よって $y=a(p+q)x-apq$ です。傾きは「変化の割合」と同じものです。

三角形 OAB の面積

$p<0<q$ のとき、$y$ 軸で △OAB を △OAC と △OBC に分けます。どちらも底辺を OC（$y$ 軸上）とすると、高さは A, B から $y$ 軸までの横のきょり、つまり $-p$ と $q$ です。

$q-p$ は A と B の $x$ 座標の差です。$a>0$ なら OC＝$-apq$ なので、$\triangle OAB=-\dfrac{1}{2}apq(q-p)$ とも書けます。

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

高さに x 座標の和を使うな。−2 と 4 なら、y軸からのきょりは2と4で、合わせて6だ。

• 切片の符号をまちがえる：切片は $-apq$。$p$ が負なら $-apq$ は正になることが多い（例題1では $+4$）。
• 面積で $x$ 座標の和を使う：高さは $y$ 軸からのきょりなので、$(-p)+q=q-p$（差）。$-2$ と $4$ なら6であって2ではない。
• 底辺に AB を使って高さを求めようとする：ななめの辺は長さも高さも求めにくい。$y$ 軸で分けて、底辺を OC にする。

練習問題

うかるくん

傾き a(p＋q)、切片 −apq で直線の式もすぐだ！

1. 高校受験 放物線 $y=2x^2$ 上に、$x$ 座標が $-1$、$2$ の点 A、B があります。直線 AB の式と △OAB の面積を求めなさい。
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   傾き $2\times(-1+2)=2$、切片 $-2\times(-1)\times2=4$ で $y=2x+4$。面積 $\dfrac{1}{2}\times4\times\{2-(-1)\}=6$。答え $y=2x+4$、面積 $6$
2. 高校受験 例題1（$y=\dfrac{1}{2}x^2$、A$(-2,\ 2)$、B$(4,\ 8)$）で、原点 O を通り △OAB の面積を2等分する直線の式を求めなさい。
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   O を通って面積を2等分する直線は、辺 AB の中点を通る。中点は $\left(\dfrac{-2+4}{2},\ \dfrac{2+8}{2}\right)=(1,\ 5)$ なので $y=5x$。答え $y=5x$
3. 高校受験 放物線 $y=ax^2$ が点 A$(-3,\ 3)$ を通ります。この放物線上の $x$ 座標が $6$ の点を B とするとき、$a$ の値と △OAB の面積を求めなさい。
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   $3=9a$ より $a=\dfrac{1}{3}$。B$(6,\ 12)$。直線 AB は傾き $\dfrac{1}{3}\times(-3+6)=1$、切片 $-\dfrac{1}{3}\times(-3)\times6=6$。面積 $\dfrac{1}{2}\times6\times\{6-(-3)\}=27$。答え $a=\dfrac{1}{3}$、面積 $27$

関連する公式

• 変化の割合（y＝ax²）
• 一次関数 y＝ax＋b
• 等積変形（面積が等しい点）
• 二次方程式の解の公式（交点の $x$ 座標）
• 三角形・平行四辺形の面積
• 二次関数の頂点（平方完成）（大学受験）

よくある質問

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