正弦定理・余弦定理｜a/sinA=2R・a²=b²+c²−2bc cosA の証明と使い分け、例題【大学受験 数学Ⅰ】

正弦定理と余弦定理

三角形 ABC で、角 A、B、C の向かい側の辺の長さをそれぞれ $a,\ b,\ c$、外接円の半径を $R$ とします。辺と角の関係を表すのが、次の2つの定理です。

正弦定理の証明

角 A が鋭角の場合で証明します。外接円の中心を通る直径 BD を引きます（$BD=2R$）。

• 弧 BC に対する円周角なので $\angle BDC=\angle BAC=A$。
• BD は直径なので $\angle BCD=90^\circ$（直径の円周角）。

直角三角形 BCD で、$\sin D=\dfrac{BC}{BD}$ だから、

$$\sin A=\frac{a}{2R}\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{\sin A}=2R$$

B、C についても同じなので、3つの比はすべて $2R$ に等しくなります。A が直角・鈍角のときも、円周角の性質（内接四角形の対角の和 $180^\circ$ と $\sin(180^\circ-A)=\sin A$）を使えば同じ結論になります。

余弦定理の証明（座標で）

C を原点、CB を $x$ 軸の正の向きにとると、B$(a,\ 0)$、A$(b\cos C,\ b\sin C)$ です（$CA=b$ なので）。2点間の距離の公式で $c^2=AB^2$ を計算すると、

$$\begin{aligned}c^2&=(b\cos C-a)^2+(b\sin C)^2\\&=b^2\cos^2C-2ab\cos C+a^2+b^2\sin^2C\\&=a^2+b^2(\cos^2C+\sin^2C)-2ab\cos C\\&=a^2+b^2-2ab\cos C\end{aligned}$$

最後に $\sin^2C+\cos^2C=1$ を使いました。この証明は C が鋭角でも鈍角でもそのまま成り立ちます。$C=90^\circ$ なら $\cos C=0$ で $c^2=a^2+b^2$、つまり三平方の定理は余弦定理の特別な場合です。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

正弦定理・余弦定理は数学Ⅰ「図形と計量」で学びます。三角形の辺・角・面積・外接円・内接円の問題は、ほとんどがこの2つと面積の公式 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ の組み合わせです。

よくある間違い

• 余弦定理の符号：$-2bc\cos A$ はマイナス。$\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}$ なので、鈍角では足し算になる。
• 辺と角の対応：$a$ は角 A の向かいの辺。
• 正弦定理の解が2つある場合：$\sin B$ から角を求めると、$B$ と $180^\circ-B$ の2つの候補が出ることがある。

練習問題

1. 大学受験 $b=4$、$c=6$、$A=60^\circ$ のとき $a$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $a^2=16+36-2\cdot4\cdot6\cdot\dfrac{1}{2}=28$、$a=2\sqrt7$。答え $2\sqrt7$
2. 大学受験 外接円の半径が $5$ の三角形で、$A=30^\circ$ のとき $a$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $a=2R\sin A=10\times\dfrac{1}{2}=5$。答え $5$
3. 大学受験 3辺が $5,\ 7,\ 8$ の三角形の、長さ $7$ の辺の向かいの角を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\cos\theta=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2}$。答え $60^\circ$

関連する公式

• 三平方の定理（余弦定理の $C=90^\circ$ の場合）
• 円周角の定理（正弦定理の証明に使う）
• 三角関数の加法定理
• 三角形・平行四辺形の面積（$S=\frac{1}{2}bc\sin A$）
• 三角比・三角関数の基本
• 外接円・内接円の半径
• 三角形の面積（1/2 ab sinC・ヘロン）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）