中点連結定理｜MN∥BC・MN=½BC の証明（相似・平行四辺形）と四角形・台形の例題【高校受験】

うかるくん

中点を結んだ MN は、三角形のどの辺の半分になるの？

合格先生

中点を通らない残りの辺 BC の半分だ。しかも BC に平行。2つ同時に分かるのがこの定理だぞ。

中点連結定理とは

「2辺の中点を連結した線分は、残りの辺に平行で、長さは半分」。平行と長さの2つのことが同時に分かる、とても使い道の多い定理です。

証明1：相似を使う

$\triangle AMN$ と $\triangle ABC$ で、

• $AM:AB=1:2$、$AN:AC=1:2$（M、N は中点）
• $\angle A$ は共通

よって、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので $\triangle AMN\sim\triangle ABC$（相似比 $1:2$）。

• 対応する辺の比から $MN:BC=1:2$、つまり $MN=\dfrac12BC$。
• 対応する角が等しいので $\angle AMN=\angle ABC$。同位角が等しいので $MN\parallel BC$。

証明2：平行四辺形を作る

MN を N の方へ同じ長さだけのばした点を D とします（$MN=ND$）。

• $\triangle AMN$ と $\triangle CDN$ で、$AN=CN$、$MN=DN$、$\angle ANM=\angle CND$（対頂角）なので、2辺とその間の角が等しく合同。よって $CD=AM=MB$、$\angle MAN=\angle DCN$。
• $\angle MAN=\angle DCN$ は錯角なので $AB\parallel CD$、つまり $MB\parallel DC$。
• 四角形 MBCD は、1組の向かい合う辺 MB と DC が平行で長さが等しいので平行四辺形。

平行四辺形なので $MD\parallel BC$、$MD=BC$。$MN=\dfrac12MD$ だから $MN=\dfrac12BC$、$MN\parallel BC$ です。

逆も成り立ちます：AB の中点 M を通って BC に平行な直線を引くと、AC の中点 N を通ります。

高校受験（中学3年）での使い方

中点連結定理は中学3年の「相似」で学びます。高校入試では、四角形の各辺の中点を結ぶ問題、台形の中点、三角形の重心の性質など、証明と計算の両方で出ます。

大学受験では

ベクトルを使うと一瞬で証明できます。$\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}=\dfrac12\vec{AC}-\dfrac12\vec{AB}=\dfrac12(\vec{AC}-\vec{AB})=\dfrac12\vec{BC}$。向きが同じで大きさが半分、ということがそのまま式に表れています。三角形の重心が中線を $2:1$ に分けることの証明でも、中点連結定理が使われます。

よくある間違い

合格先生

$AM:MB=1:2$ のように中点でないときは使えない。平行線と線分の比を使おう。

• 中点でない点に使う：$AM:MB=1:2$ のようなときは、中点連結定理ではなく、平行線と線分の比を使う。
• どの辺の半分かを取りちがえる：MN は、中点を通らない残りの辺（BC）の半分。

練習問題

サクラちゃん

中点が2つ見えたら、まず結んでみようっと

1. 高校受験 三角形 ABC の3辺の長さが 8 cm、10 cm、12 cm です。3辺の中点を結んでできる三角形の周の長さを求めなさい。
   答えと解説を見る

   それぞれ元の辺の半分なので $4+5+6=15$。答え $15$ cm
2. 高校受験 対角線の長さが 10 cm と 16 cm の四角形があります。各辺の中点を結んでできる平行四辺形の周の長さを求めなさい。
   答えと解説を見る

   辺は対角線の半分（5 cm と 8 cm）が2本ずつ。$2\times(5+8)=26$。答え $26$ cm

関連する公式

• 相似比と面積比・体積比
• 平行線と角
• 角の二等分線と辺の比
• 台形の面積
• メネラウスの定理・チェバの定理
• 三角形の相似条件
• 位置ベクトルと内分点・外分点
• 平行線と線分の比

よくある質問

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