位置ベクトルと内分点・外分点の公式｜(na＋mb)/(m＋n) の証明・重心の公式・交点の位置ベクトルの例題【数学C・大学受験】

うかるくん

$m:n$ に内分するとき、$\vec{a}$ にかけるのは $m$、$n$ のどっち？

合格先生

$\vec{a}$ に $n$、$\vec{b}$ に $m$ をかける、たすきがけだ。分母は $m+n$ だぞ。

位置ベクトルと内分点・外分点の公式

基準の点 O を決めて、点 A を $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ で表すとき、$\vec{a}$ を A の位置ベクトルといい、$A(\vec{a})$ と書きます。

内分の式は「たすきがけ」：$\vec{a}$ には遠い側の $n$、$\vec{b}$ には $m$ をかける。外分は内分の式の $n$ を $-n$ にかえたもの。

証明：内分点の公式

P は AB を $m:n$ に内分するので、$\overrightarrow{AP}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ なので、

外分点は $\overrightarrow{AQ}=\dfrac{m}{m-n}\overrightarrow{AB}$（Q は AB の延長上）として同じ計算をすると $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ になります。

重心の公式の証明

BC の中点 M は $\vec{m}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$。中線 AM を $2:1$ に内分する点は $\dfrac{1\cdot\vec{a}+2\vec{m}}{3}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$。この式は $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ について対称なので、ほかの2本の中線を $2:1$ に内分する点も同じ点です。つまり3本の中線は1点で交わることも同時に証明できます。

大学受験（数学C）での使い方

座標で書けば、内分点は $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$。座標の公式と同じ形です。

よくある間違い

合格先生

外分で符号を忘れるのは×。$-n\vec{a}+m\vec{b}$ で、分母は $m-n$ だ。

• 内分の係数を逆にする：$m:n$ に内分なら $\vec{a}$ に $n$、$\vec{b}$ に $m$（たすきがけ）。
• 外分で符号を忘れる：$-n\vec{a}+m\vec{b}$、分母は $m-n$。
• 係数比較を、平行なベクトルでする：$\vec{a},\ \vec{b}$ が平行でない（1次独立）ことを確かめてから。

練習問題

合格先生

交点は2通りに表して、係数を比べるんだぞ。

1. 大学受験 $A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$ を $3:2$ に内分する点の位置ベクトルを求めなさい。
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   $\dfrac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}$
2. 大学受験 $A(-2,\ 4)$、$B(4,\ 1)$ を $1:2$ に内分する点の座標を求めなさい。
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   $\left(\dfrac{-4+4}{3},\ \dfrac{8+1}{3}\right)=(0,\ 3)$
3. 大学受験 $A(1,\ 1)$、$B(4,\ 2)$、$C(1,\ 6)$ の △ABC の重心の座標を求めなさい。
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   $\left(\dfrac{6}{3},\ \dfrac{9}{3}\right)=(2,\ 3)$

関連する公式

• ベクトルの内積
• 中点連結定理
• メネラウスの定理・チェバの定理（交点の比）
• 円の方程式・2点間の距離（座標）
• 角の二等分線の定理（内心のベクトル）
• ベクトルの成分と大きさ
• 空間ベクトル
• 三角形の五心（重心）

よくある質問

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