ベクトルの成分と大きさの公式｜|a|＝√(a₁²＋a₂²) の証明・成分ごとに足せる理由・平行条件・最小値の例題【数学C・大学受験】

うかるくん

$\overrightarrow{AB}$ の成分は、どっちからどっちを引くの？

合格先生

終点−始点だ。B の座標から A の座標を引けば、$\overrightarrow{AB}$ の成分になるぞ。

ベクトルの成分と大きさの公式

ベクトルを、$x$ 方向に何進み $y$ 方向に何進むかの2つの数で表したものが成分表示 $\vec a=(a_1,\ a_2)$ です。

証明：大きさの公式と、成分ごとに足してよい理由

大きさ：$\vec a=(a_1,\ a_2)$ の矢印は、横 $|a_1|$、たて $|a_2|$ の直角三角形の斜辺です。三平方の定理から $|\vec a|=\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}}$。

和：$\vec a$ は「$x$ 方向に $a_1$、$y$ 方向に $a_2$ 進む」移動。$\vec a$ のあとに $\vec b$ だけ進むと、$x$ 方向には合わせて $a_1+b_1$、$y$ 方向には $a_2+b_2$ 進みます。だから和は成分ごとの和です。

平行条件：$\vec b=k\vec a$ と書けるとき平行。$b_1=ka_1,\ b_2=ka_2$ から $k$ を消すと $a_1b_2-a_2b_1=0$。

大学受験（数学C）での使い方

よくある間違い

合格先生

$|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|$ とはしないこと。成分を出してから大きさを計算しよう。

• $\overrightarrow{AB}$ を「始点−終点」で計算する：終点−始点。
• $|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|$ とする：成分を出してから大きさを計算する。
• 大きさの最小を、2乗せずに考える：ルートの中（2乗）を平方完成する。

練習問題

うかるくん

大きさは三平方の定理で出せるぞ。

1. 大学受験 $\vec a=(2,\ 1)$、$\vec b=(-1,\ 3)$ のとき、$2\vec a+\vec b$ とその大きさを求めなさい。
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   $(3,\ 5)$、$\sqrt{34}$
2. 大学受験 $A(1,\ 2)$、$B(4,\ 6)$ のとき、$\overrightarrow{AB}$ とその大きさを求めなさい。
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   $(3,\ 4)$、$5$
3. 大学受験 $\vec a=(1,\ 3)$ と $\vec b=(2,\ k)$ が平行になる $k$ を求めなさい。
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   $1\cdot k-3\cdot2=0$。$k=6$

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