ベクトルの内積｜a・b=|a||b|cosθ の意味と成分表示 a₁b₁+a₂b₂ の証明・垂直条件・なす角の例題【大学受験 数学C】

ベクトルの内積

成分表示の証明（余弦定理から）

$\vec a=\vec{OA}$、$\vec b=\vec{OB}$ とし、$\triangle OAB$ に余弦定理を使います。

$$AB^2=OA^2+OB^2-2\,OA\cdot OB\cos\theta=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\,\vec a\cdot\vec b$$

一方、$\vec{AB}=\vec b-\vec a=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)$ なので、成分で計算すると

$$AB^2=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2=(a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)-2(a_1b_1+a_2b_2)$$

2つをくらべると、$|\vec a|^2=a_1^2+a_2^2$、$|\vec b|^2=b_1^2+b_2^2$ なので

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$$

「長さと角度」で決めた内積が、「成分のかけ算の和」というとても簡単な式で計算できる——これが内積の便利さの本質です。

内積の性質と使い方

• 垂直条件：$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$（$\vec a,\ \vec b\neq\vec0$）。
• なす角：$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$。
• 長さの2乗：$|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a$。$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$（展開の公式と同じ形）。
• 三角形の面積：$S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$。

大学受験（数学C）での使い方

ベクトルは数学Cで学びます。内積は、垂直・角度・長さ・面積を計算でき、図形問題をベクトルで解くときの中心になります。物理の「仕事＝力×移動距離×cosθ」も内積です。

よくある間違い

• 内積をベクトルとして書く：内積は数（スカラー）。
• なす角を始点をそろえずに測る：2つのベクトルの始点をそろえたときの角。
• $|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|$ とする：長さは2乗して内積で展開する。

練習問題

1. 大学受験 $\vec a=(4,\ -3)$、$\vec b=(2,\ 5)$ の内積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $8-15=-7$。答え $-7$
2. 大学受験 $|\vec a|=3$、$|\vec b|=4$、なす角 $60^\circ$ のとき、$\vec a\cdot\vec b$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $3\times4\times\dfrac12=6$。答え $6$
3. 大学受験 $\vec a=(1,\ 1,\ 0)$、$\vec b=(0,\ 1,\ 1)$ のなす角を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\vec a\cdot\vec b=1$、$|\vec a|=|\vec b|=\sqrt2$。$\cos\theta=\dfrac12$。答え $60^\circ$

関連する公式

• 正弦定理・余弦定理（成分表示の証明に使う）
• 三平方の定理（ベクトルの大きさ）
• 三角形・平行四辺形の面積
• 中点連結定理（ベクトルで証明）
• 点と直線の距離
• 位置ベクトルと内分点・外分点
• 不等式の証明（コーシー・シュワルツ）
• ベクトルの成分と大きさ
• 空間ベクトルと座標
• ベクトルと三角形の面積

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）