空間ベクトルと座標の公式｜大きさ√(a₁²＋a₂²＋a₃²) の証明（三平方を2回）・距離・内積となす角の例題【数学C・大学受験】

空間ベクトルと座標の公式｜大きさ√(a₁²＋a₂²＋a₃²) の証明（三平方を2回）・距離・内積となす角の例題【数学C・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › ベクトル

大学受験

∣a⃗∣=a1 2+a2 2+a3 2|\vec a|=\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}+a_3^{\,2}}

内積 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

この公式のポイント

  • 平面の公式にz成分を足すだけ
  • 大きさは三平方の定理を2回（直方体の対角線）
  • 内積 a1b1+a2b2+a3b3a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
  • 見取図の長さではなく座標で計算
うかるくん

うかるくん

空間ベクトルの大きさって、平面のときと何がちがうの？

合格先生

合格先生

zz 成分を足すだけだ。三平方の定理を2回使う、直方体の対角線と同じ考えだぞ。

空間ベクトルと座標の公式

平面のベクトル (a1, a2)(a_1,\ a_2) に、高さの成分を1つ加えたのが空間ベクトル (a1, a2, a3)(a_1,\ a_2,\ a_3) です。公式は平面の場合に zz 成分を足すだけです。

空間ベクトルの公式

  • 大きさ：∣a⃗∣=a1 2+a2 2+a3 2|\vec a|=\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}+a_3^{\,2}}
  • 2点間の距離：AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
  • 内積：a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a||\vec b|\cos\theta
  • 内分点・重心：平面と同じ式（各成分ごと）
c緑：底面の対角線 √(a²＋b²)赤：立体の対角線 √(a²＋b²＋c²)三平方の定理を2回：底面の対角線 → 立体の対角線
たて aa、横 bb、高さ cc の直方体の対角線は a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}

証明：三平方の定理を2回使う

直方体の底面の対角線は、三平方の定理で a2+b2\sqrt{a^2+b^2}。この対角線と高さ cc は垂直なので、もう一度三平方の定理を使うと、立体の対角線は (a2+b2)2+c2=a2+b2+c2\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}。ベクトル (a1, a2, a3)(a_1,\ a_2,\ a_3) の大きさは、この直方体の対角線そのものです。

内積の成分の式も、平面と同じく余弦定理から ∣b⃗−a⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2a⃗⋅b⃗|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b を成分で計算すると導けます。

P(2, 3, 4)H(2, 3, 0)xyzOP＝√(2²＋3²＋4²)＝√29
座標空間の点 P(2, 3, 4)。原点からの距離は 29\sqrt{29}

大学受験（数学C）での使い方

大学受験

例題1（距離）

A(1, 2, 3)A(1,\ 2,\ 3)、B(3, −1, 5)B(3,\ -1,\ 5) のとき、AB→\overrightarrow{AB} と ABAB の長さを求めなさい。

解き方

AB→=(2, −3, 2)\overrightarrow{AB}=(2,\ -3,\ 2)。AB=4+9+4=17AB=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}。

答え　(2, −3, 2)(2,\ -3,\ 2)、17\sqrt{17}

大学受験

例題2（なす角）

a⃗=(1, 2, 2)\vec a=(1,\ 2,\ 2)、b⃗=(2, −1, 2)\vec b=(2,\ -1,\ 2) のなす角を θ\theta とするとき、cos⁡θ\cos\theta を求めなさい。

解き方

a⃗⋅b⃗=2−2+4=4\vec a\cdot\vec b=2-2+4=4、∣a⃗∣=∣b⃗∣=3|\vec a|=|\vec b|=3。cos⁡θ=49\cos\theta=\dfrac49。

答え　49\dfrac49

大学受験

例題3（立方体の対角線）

1辺 1 の立方体の対角線の長さと、対角線どうしのなす角の余弦を求めなさい。

解き方

対角線 1+1+1=3\sqrt{1+1+1}=\sqrt3。(1, 1, 1)(1,\ 1,\ 1) と (1, 1, −1)(1,\ 1,\ -1) の内積は 11、cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac{1}{3}。

答え　3\sqrt3、13\dfrac13

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

見取図の長さをそのまま使うのは×だ。斜めの辺は実際とちがうから、座標で計算しよう。

  • zz 成分を足し忘れる：大きさ・距離・内積すべて3つの成分。
  • 見取図の長さをそのまま使う：斜めにかいた辺は実際の長さとちがう。座標で計算する。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

平面の公式に zz を足すだけなんだ！

  1. 大学受験 a⃗=(2, −1, 2)\vec a=(2,\ -1,\ 2) の大きさは？
    答えと解説を見る4+1+4=3\sqrt{4+1+4}=3
  2. 大学受験 A(1, 0, 2)A(1,\ 0,\ 2)、B(3, 4, −2)B(3,\ 4,\ -2) の中点は？
    答えと解説を見る(2, 2, 0)(2,\ 2,\ 0)
  3. 大学受験 a⃗=(1, 0, 1)\vec a=(1,\ 0,\ 1)、b⃗=(0, 1, 1)\vec b=(0,\ 1,\ 1) のなす角は？
    答えと解説を見る内積1、大きさ 2\sqrt2 ずつ。cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac12、θ=60∘\theta=60^\circ

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よくある質問

空間ベクトルの大きさの公式は？

a=(a₁, a₂, a₃) のとき |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²) です。

なぜ3つの成分の2乗の和になるのですか？

直方体の底面の対角線を三平方の定理で求め、それと高さでもう一度三平方の定理を使うからです。

空間ベクトルの内積は？

a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ です。平面の内積にz成分の積を足したものです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦