三角形の五心（外心・内心・重心・垂心・傍心）｜3本の線が1点で交わる証明・重心の2:1・垂心は大きな三角形の外心【数学A・高校受験〜大学受験】

高校受験大学受験

AG:GL=2:1,\quad OA=OB=OC

外心 O・内心 I・重心 G・垂心 H・傍心（3個）

この公式のポイント

外心＝垂直二等分線の交点（頂点から等距離）
内心＝角の二等分線の交点（辺から等距離）
重心＝中線の交点、中線を $2:1$ に分ける
垂心＝垂線の交点、傍心＝外角の二等分線も使う

うかるくん

外心と内心、どっちがどの線の交点なのか、いつも混ざっちゃう

合格先生

外心は辺の垂直二等分線で、頂点から等距離だ。内心は角の二等分線で、辺から等距離だぞ。

三角形の五心とは

三角形には、決まった3本の線が必ず1点で交わる点が5種類あります。これをまとめて三角形の五心といいます。「3本が1点で交わる」のは当たり前ではなく、どれも証明が必要です。

三角形の五心（どの3本が交わるか）

外心 O：3辺の垂直二等分線の交点。 $OA=OB=OC$ で、外接円の中心
内心 I：3つの内角の二等分線の交点。3辺までの距離が等しく、内接円の中心
重心 G：3本の中線の交点。中線を頂点の側から $2:1$ に分ける
垂心 H：3つの頂点から向かいの辺（またはその延長）にひいた垂線の交点
傍心：1つの内角の二等分線と、残り2つの角の外角の二等分線の交点。傍接円の中心で、1つの三角形に3個ある

外心 O：3辺の垂直二等分線が1点で交わり、O は3つの頂点から等しい距離

五心	交わる3本の線	性質
外心 O	辺の垂直二等分線	$OA=OB=OC$ （外接円の中心）
内心 I	内角の二等分線	3辺までの距離が等しい（内接円の中心）
重心 G	中線	中線を $2:1$ に分ける、 $G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
垂心 H	頂点から向かいの辺への垂線	$AH\perp BC$ など
傍心	内角1つと外角2つの二等分線	3直線までの距離が等しい（傍接円の中心）、3個ある

証明（3本の線が1点で交わる理由）

どの証明も、「2本の交点をとり、それが3本目の上にもある」ことを示す形です。

外心：垂直二等分線

線分 AB の垂直二等分線上の点は、A と B から等しい距離にあります（逆に、A と B から等しい距離の点は垂直二等分線上にあります。合同で示せます）。

辺 AB と辺 BC の垂直二等分線の交点を O とすると、 $OA=OB$ かつ $OB=OC$ 。よって $OA=OC$ となり、O は辺 CA の垂直二等分線の上にもあります。3本は O で交わり、O を中心に半径 $OA$ の円をかくと A、B、C を通ります（外接円）。

内心：角の二等分線

内心 I：3つの内角の二等分線が1点で交わり、I から3辺までの距離（赤）が等しい

角の二等分線上の点は、角をつくる2辺から等しい距離にあります（直角三角形の合同で示せます）。∠B と ∠C の二等分線の交点を I とすると、I から辺 AB と辺 BC までの距離は等しく、辺 BC と辺 CA までの距離も等しい。よって辺 AB と辺 CA までの距離も等しく、I は ∠A の二等分線の上にもあります。この距離を $r$ とすると、I を中心に半径 $r$ の円は3辺に接します（内接円。内接円の半径は $r=\dfrac{2S}{a+b+c}$ ）。

重心：中線は 2：1 に分けられる

重心 G：3本の中線が1点で交わり、どの中線も頂点の側から 2：1 に分ける

中線 BM と CN の交点を G とします。M、N はそれぞれ CA、AB の中点なので、中点連結定理より $NM\parallel BC$ 、 $NM=\dfrac12BC$ 。錯角が等しいので $\triangle GNM\sim\triangle GCB$ で、相似比は $NM:CB=1:2$ 。だから $BG:GM=2:1$ 、 $CG:GN=2:1$ です。

同じように、中線 AL と BM の交点も「BM を $2:1$ に分ける点」です。BM を $2:1$ に分ける点はただ1つなので、それは G と同じ点。よって3本の中線は G で交わります。ベクトルで書くと $\vec{g}=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$ （位置ベクトル）です。

垂心：大きな三角形の外心になる

各頂点を通り向かいの辺に平行な線で大きな三角形 A′B′C′ をつくると、垂心 H はその外心

A、B、C を通り、それぞれ向かいの辺に平行な直線をひいて、大きな三角形 A′B′C′ をつくります（A′ は A の向かい側の頂点）。四角形 $ABCB'$ と $AC'BC$ は2組の向かいの辺が平行なので平行四辺形で、 $AB'=BC$ 、 $AC'=BC$ 。つまり A は B′C′ の中点です。

A から BC への垂線は、 $BC\parallel B'C'$ なので B′C′ にも垂直。つまりB′C′ の垂直二等分線です。B、C からの垂線も同じように、大きな三角形の辺の垂直二等分線になります。垂直二等分線の3本は外心で交わるので、3本の垂線も1点 H で交わります。

傍心：外角の二等分線

傍心 J：∠A の二等分線と、B・C の外角の二等分線が1点で交わる。J を中心とする円が傍接円

内心と同じ考え方です。∠B の外角の二等分線と ∠C の外角の二等分線の交点を J とすると、J から直線 AB と直線 BC までの距離が等しく、直線 BC と直線 CA までの距離も等しい。よって直線 AB と直線 CA までの距離も等しく、J は ∠A の二等分線の上にあります。∠A、∠B、∠C のどれを内角にするかで、傍心は3個できます。

知っておくと便利な事実

正三角形では、外心・内心・重心・垂心がすべて同じ点になります。
正三角形でない三角形では、外心 O・重心 G・垂心 H は一直線上にあり（オイラー線）、 $OG:GH=1:2$ です。
鈍角三角形では、外心と垂心が三角形の外に出ます。直角三角形では、外心は斜辺の中点、垂心は直角の頂点です。

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題1（重心と中線）

△ABC の重心を G、辺 BC の中点を L とします。中線 AL の長さが 9 cm のとき、AG と GL の長さを求めなさい。

解き方

重心は中線を頂点の側から $2:1$ に分けるので、 $AG=9\times\dfrac23=6$ 、 $GL=9\times\dfrac13=3$ 。

答え　AG＝6 cm、GL＝3 cm

高校受験

例題2（内心と角）

△ABC の内心を I とします。∠A＝70° のとき、∠BIC を求めなさい。

解き方

I は角の二等分線の交点なので、 $\angle IBC+\angle ICB=\dfrac12(\angle B+\angle C)=\dfrac12(180^\circ-70^\circ)=55^\circ$ 。よって $\angle BIC=180^\circ-55^\circ=125^\circ$ 。一般に $\angle BIC=90^\circ+\dfrac12\angle A$ です。

答え　 $125^\circ$

大学受験（数学A・数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題3（外心と円周角）

鋭角三角形 ABC の外心を O とします。∠A＝50° のとき、∠BOC を求めなさい。

解き方

O は外接円の中心。∠BOC は弧 BC に対する中心角、∠A は同じ弧に対する円周角なので、 $\angle BOC=2\angle A=100^\circ$ 。

答え　 $100^\circ$

大学受験

例題4（座標で垂心）

A(0, 3)、B(−1, 0)、C(2, 0) を頂点とする △ABC の垂心 H の座標を求めなさい。

解き方

BC は x 軸なので、A からの垂線は $x=0$ 。AC の向きは $(2,\ -3)$ なので、B を通り AC に垂直な直線は $2(x+1)-3y=0$ 。 $x=0$ を入れて $y=\dfrac23$ 。確かめ：C を通り AB（向き $(1,\ 3)$ ）に垂直な直線 $(x-2)+3y=0$ も $x=0$ で $y=\dfrac23$ 。

答え　 $H\left(0,\ \dfrac23\right)$

よくある間違い

合格先生

重心は中線を $2:1$ に分ける。「2」は頂点の側だ。逆にするな。

外心と内心の取りちがえ：外心は辺の垂直二等分線（頂点から等距離）、内心は角の二等分線（辺から等距離）。
重心の比を逆にする： $2:1$ の「2」は頂点の側です。
五心はいつも三角形の中にあると思う：鈍角三角形では外心・垂心が外に出ます。傍心はいつも外です。

練習問題

サクラちゃん

鈍角三角形もかいて、五心の場所を見てみよう

高校受験 △ABC の重心を G、辺 BC の中点を L とします。AL＝15 cm のとき AG は何 cm？
答えと解説を見る
$15\times\dfrac23=10$ 。答え 10 cm
高校受験 △ABC の内心を I とします。∠A＝40° のとき ∠BIC は？
答えと解説を見る
$90^\circ+\dfrac{40^\circ}{2}=110^\circ$
大学受験 A(2, 1)、B(5, 4)、C(−1, 7) を頂点とする △ABC の重心の座標は？
答えと解説を見る
$\left(\dfrac{2+5-1}{3},\ \dfrac{1+4+7}{3}\right)=(2,\ 4)$

よくある質問

三角形の五心とは何ですか？

外心・内心・重心・垂心・傍心の5つです。どれも決まった3本の線が1点で交わる点です。

外心と内心のちがいは？

外心は3辺の垂直二等分線の交点で、3つの頂点から等距離（外接円の中心）。内心は3つの角の二等分線の交点で、3辺から等距離（内接円の中心）です。

重心が中線を2:1に分けるのはなぜですか？

2本の中線の交点を考えると、中点連結定理で相似比1:2の三角形ができるからです。2の側が頂点です。

垂心が1点で交わる証明は？

各頂点を通り向かいの辺に平行な直線で大きな三角形をつくると、3本の垂線はその三角形の垂直二等分線になるので、外心で1点に交わります。