三角形の合同条件｜3つの条件の意味と「2辺と間でない角」がだめな理由・直角三角形の合同条件・証明の例題【中学数学・高校受験】

うかるくん

3つの角がそれぞれ等しい三角形は、合同じゃないの？

合格先生

合同ではない。大きさが決まらないから相似だ。合同条件は三角形が1つにかける条件だぞ。

三角形の合同条件

2つの図形が合同とは、ずらす・回す・裏返すことでぴったり重なることです（記号 $\equiv$）。三角形は、次のどれか1つが言えれば合同です。

なぜこの3つなのか

合同条件は「その条件だけで三角形がただ1つにかける（作図できる）」ものです。

• 3辺：コンパスで2つの円をかけば、3つ目の頂点が1つに決まる。
• 2辺と間の角：角をかき、その2本の辺の長さをとれば、残りの頂点を結ぶだけ。
• 1辺と両端の角：辺の両端から決まった角で直線を引けば、交点が1つに決まる。

反対に「2辺と、その間でない角」では、下の図のように三角形が2通りできることがあるので、合同条件になりません。

直角三角形の「斜辺と他の1辺」が合同条件になるのは、三平方の定理で残りの1辺の長さも決まり、3組の辺が等しくなるからです（中学では、2つの三角形を並べて二等辺三角形を作る方法で証明します）。

高校受験（中学数学）での使い方

合同条件は中学2年で学び、図形の証明で使います。

よくある間違い

合格先生

「2辺と1つの角」では合同と言えない。角は2辺の間にないといけないぞ。

• 「2辺と1つの角」で合同とする：角は2辺の間でないといけない。
• 3つの角が等しいので合同とする：それは相似。大きさが決まらない。
• 対応する頂点の順に書かない：△ABD $\equiv$ △ACD のように、対応する順に書く。

練習問題

うかるくん

対応する頂点の順に書くのも忘れないよ

1. 高校受験 △ABC と △DEF で、$AB=DE$、$BC=EF$、$\angle B=\angle E$ のとき、使える合同条件は何ですか。
   答えと解説を見る

   2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
2. 高校受験 △ABC と △DEF で、$AB=DE$、$AC=DF$、$\angle B=\angle E$ のとき、合同といえますか。
   答えと解説を見る

   いえない（角が2辺の間ではない）
3. 高校受験 2つの直角三角形で、斜辺の長さと1つの鋭角がそれぞれ等しいとき、合同といえますか。
   答えと解説を見る

   いえる（直角三角形の合同条件）

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