接線の長さの定理｜PA＝PB の証明（合同）・PA²＝PO²−r²・内接円で各辺を分ける長さ・円に外接する四角形の例題【高校受験〜大学受験】

うかるくん

外の点から引いた2本の接線は、なんで同じ長さなの？

合格先生

△OAP と △OBP は、直角・半径・共通の OP で合同だ。だから $PA=PB$ になるぞ。

接線の長さの定理

証明：PA＝PB

△OAP と △OBP で、$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$（接線は半径に垂直）、$OA=OB$（半径）、$OP$ は共通。直角三角形の合同条件（斜辺と他の1辺）より △OAP $\equiv$ △OBP。よって $PA=PB$。

また △OAP は直角三角形なので、三平方の定理より $PA^2=PO^2-OA^2=PO^2-r^2$。

三角形の内接円と接線の長さ

各頂点から内接円に引いた2本の接線は等しいので、A、B、C からの接線の長さを $x,\ y,\ z$ とすると $x+y=7$、$y+z=8$、$z+x=9$。3つを足すと $2(x+y+z)=24$、$x+y+z=12$。よって $x=12-8=4$、$y=12-9=3$、$z=12-7=5$。一般に、A からの接線の長さ＝$s-a$（$s$ は周の半分、$a$ は A の向かいの辺）です。

高校受験（中学数学）での使い方

大学受験での使い方

よくある間違い

合格先生

$PA=PO-r$ としない。直角三角形だから $PA^2=PO^2-r^2$ だ。

• 接線と半径が垂直なことを使い忘れる：直角三角形を作るのが基本。
• $PA=PO-r$ とする：$PA^2=PO^2-r^2$。

練習問題

合格先生

内接円の問題も、接線の長さで解けるぞ。

1. 高校受験 半径 6 の円の中心から 10 はなれた点から引いた接線の長さは？
   答えと解説を見る

   $\sqrt{100-36}=8$
2. 高校受験 AB＝5、BC＝6、CA＝7 の三角形の内接円が辺 BC に接する点を D とするとき、BD の長さは？
   答えと解説を見る

   $s=9$、B からの接線の長さは $s-CA=9-7=2$。答え $2$
3. 高校受験 円に外接する四角形 ABCD で AB＝9、CD＝5、DA＝6 のとき BC は？
   答えと解説を見る

   $9+5=BC+6$。答え $8$

関連する公式

• 三角形の合同条件
• 三平方の定理
• 外接円・内接円の半径
• 方べきの定理（$PA^2=PC\cdot PD$）
• 接弦定理
• 円の方程式と接線

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）