オイラー線と九点円の公式｜外心・重心・垂心が一直線になるベクトルの証明・OG:GH=1:2・九点円の中心と半径【大学数学・東大京大レベル】

オイラー線と九点円の公式｜外心・重心・垂心が一直線になるベクトルの証明・OG:GH=1:2・九点円の中心と半径【大学数学・東大京大レベル】

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大学受験

OH→=a⃗+b⃗+c⃗=3 OG→\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c=3\,\overrightarrow{OG}

O：外心（原点）、G：重心、H：垂心。九点円の中心は OH の中点、半径は R2\dfrac R2

この公式のポイント

  • 外心・重心・垂心は一直線上（オイラー線）
  • OG:GH=1:2OG:GH=1:2
  • 外心を原点にするとOH→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c
  • 九点円の中心はOH の中点、半径はR2\dfrac R2
うかるくん

うかるくん

外心と重心と垂心が一直線に並ぶって、本当なの？

合格先生

合格先生

外心を原点にすると、垂心は a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c になる。重心はその 13\dfrac13 だから一直線だ。

オイラー線と九点円

三角形の五心のうち、外心 O・重心 G・垂心 H の3つは、いつも1本の直線の上に並びます。この直線をオイラー線といいます。さらに、三角形に関係する9つの点が1つの円の上にあり、これを九点円といいます。

オイラー線

外心 O を原点とし、頂点の位置ベクトルを a⃗, b⃗, c⃗\vec a,\ \vec b,\ \vec c とすると

OH→=a⃗+b⃗+c⃗=3 OG→\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c=3\,\overrightarrow{OG}

よって O・G・H は一直線上にあり、OG:GH=1:2OG:GH=1:2（正三角形では3点が一致）。

九点円

次の9点は1つの円の上にある。

  • 3辺の中点
  • 3つの頂点から対辺（またはその延長）におろした垂線の足
  • 線分 AH、BH、CH の中点

中心 N は OH の中点、半径は外接円の半径 RR の半分 R2\dfrac R2。

HGOABCオイラー線O：外心G：重心H：垂心OG：GH＝1：2
A(0, 0)、B(6, 0)、C(2, 4) の三角形。外心 O(3, 1)、重心 G(83, 43)G\left(\frac83,\ \frac43\right)、垂心 H(2, 2) は直線 x+y=4x+y=4 上にある

証明（ベクトルで示す）

① 垂心の位置：外心 O を原点にとると ∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=R|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R（外接円の半径）。点 h⃗=a⃗+b⃗+c⃗\vec h=\vec a+\vec b+\vec c を考えると、内積で

(h⃗−a⃗)⋅(b⃗−c⃗)=(b⃗+c⃗)⋅(b⃗−c⃗)=∣b⃗∣2−∣c⃗∣2=0(\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=0

なので、A と h⃗\vec h を結ぶ直線は BC に垂直です（h⃗=a⃗\vec h=\vec a のときは点 A そのもの）。同じように B と h⃗\vec h を結ぶ直線は CA に垂直。2本の垂線の交点なので、h⃗\vec h は垂心 H です。

② オイラー線：重心は OG→=a⃗+b⃗+c⃗3=13OH→\overrightarrow{OG}=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\dfrac13\overrightarrow{OH}。よって O・G・H は一直線上にあり、G は OH を 1:21:2 に内分します。

③ 九点円：n⃗=a⃗+b⃗+c⃗2\vec n=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{2}（OH の中点 N）とします。

  • BC の中点 M：m⃗=b⃗+c⃗2\vec m=\dfrac{\vec b+\vec c}{2} なので n⃗−m⃗=a⃗2\vec n-\vec m=\dfrac{\vec a}{2}、NM=R2NM=\dfrac R2。
  • AH の中点 K：k⃗=a⃗+h⃗2=a⃗+b⃗+c⃗2\vec k=\dfrac{\vec a+\vec h}{2}=\vec a+\dfrac{\vec b+\vec c}{2} なので k⃗−n⃗=a⃗2\vec k-\vec n=\dfrac{\vec a}{2}、NK=R2NK=\dfrac R2。しかも n⃗−m⃗=k⃗−n⃗\vec n-\vec m=\vec k-\vec n なので、MK は N を中心とする円の直径です。
  • A からの垂線の足 D：D は直線 BC（M を通る）と直線 AH（K を通る）の交点で、この2直線は垂直なので ∠MDK=90∘\angle MDK=90^\circ。直径 MK を見こむ角が直角なので、D もこの円の上にあります（D が M と重なるときはそのまま円上）。

B、C についても同じなので、9点はすべて中心 N、半径 R2\dfrac R2 の円の上にあります。

NOHABC辺の中点（3つ）垂線の足（3つ）AH・BH・CHの中点N：OHの中点、半径R/2
九点円：辺の中点（青）・垂線の足（緑）・AH, BH, CH の中点（橙）。中心 N は OH の中点

大学受験での使い方

大学受験

例題1（オイラー線を求める）

3点 A(0, 0)、B(6, 0)、C(2, 4) を頂点とする △ABC の外心 O、重心 G、垂心 H を求め、3点を通る直線の方程式を答えなさい。

解き方

重心 G(0+6+23, 0+0+43)=(83, 43)G\left(\dfrac{0+6+2}{3},\ \dfrac{0+0+4}{3}\right)=\left(\dfrac83,\ \dfrac43\right)。

外心：AB の垂直二等分線は x=3x=3。O(3, y)O(3,\ y) として OA2=OC2OA^2=OC^2 より 9+y2=1+(y−4)29+y^2=1+(y-4)^2、y=1y=1。O(3, 1)O(3,\ 1)。

垂心：C からの垂線は x=2x=2。A からの垂線は BC（向き (−4, 4)(-4,\ 4)）に垂直で y=xy=x。交点 H(2, 2)H(2,\ 2)。

O と H を通る直線は x+y=4x+y=4。G も 83+43=4\dfrac83+\dfrac43=4 で、この直線上にあります。

答え　O(3, 1)O(3,\ 1)、G(83, 43)G\left(\dfrac83,\ \dfrac43\right)、H(2, 2)H(2,\ 2)、直線 x+y=4x+y=4

大学受験

例題2（九点円の方程式）

例題1の △ABC の九点円の中心と半径を求め、円の方程式を答えなさい。

解き方

中心は OH の中点 N(52, 32)N\left(\dfrac52,\ \dfrac32\right)。外接円の半径は R=OA=32+12=10R=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10} なので、九点円の半径は 102\dfrac{\sqrt{10}}{2}。

検算：AB の中点 (3, 0)(3,\ 0) と N の距離は (12)2+(32)2=102\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac32\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}。C からの垂線の足 (2, 0)(2,\ 0) も同じ距離です。

答え　中心 (52, 32)\left(\dfrac52,\ \dfrac32\right)、半径 102\dfrac{\sqrt{10}}{2}、(x−52)2+(y−32)2=52\left(x-\dfrac52\right)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac52

大学受験

例題3（OH の長さ）

△ABC の外接円の半径を RR、3辺の長さを a, b, ca,\ b,\ c とするとき、OH2=9R2−(a2+b2+c2)OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2) を示しなさい。また例題1の三角形で確かめなさい。

解き方

O を原点とすると OH→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c。∣b⃗−c⃗∣2=a2|\vec b-\vec c|^2=a^2 より 2 b⃗⋅c⃗=2R2−a22\,\vec b\cdot\vec c=2R^2-a^2。同様に 2 c⃗⋅a⃗=2R2−b22\,\vec c\cdot\vec a=2R^2-b^2、2 a⃗⋅b⃗=2R2−c22\,\vec a\cdot\vec b=2R^2-c^2。

OH2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+∣c⃗∣2+2(a⃗⋅b⃗+b⃗⋅c⃗+c⃗⋅a⃗)=3R2+6R2−(a2+b2+c2)OH^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)=3R^2+6R^2-(a^2+b^2+c^2)。

例題1では R2=10R^2=10、BC2=32BC^2=32、CA2=20CA^2=20、AB2=36AB^2=36 なので 90−88=290-88=2。実際 OH2=(3−2)2+(1−2)2=2OH^2=(3-2)^2+(1-2)^2=2 で一致します。

答え　OH2=9R2−(a2+b2+c2)OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)（例題1では OH2=2OH^2=2）

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：外心・重心・垂心は数学Aの「図形の性質」で習いますが、オイラー線と九点円は高校の教科書の範囲外（発展）です。ただし証明は、上のように数学Cのベクトル（内積）だけでできます。

入試での使い方：

  • 答案で「オイラー線より」といきなり書くのは避け、OH→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c を内積で確かめるところから書くのが安全です。
  • 座標の問題で外心・重心・垂心を求めたら、「3点が一直線上で OG:GH=1:2OG:GH=1:2」になっているかで検算できます。
  • 難関大の入試では、「外心を原点にとると垂心が a⃗+b⃗+c⃗\vec a+\vec b+\vec c で表せる」ことが背景になっている問題があります。

もっと先の話：九点円は、三角形の内接円と3つの傍接円にも接することが知られています（フォイエルバッハの定理）。証明は高校の範囲をこえるので、ここでは紹介だけにします。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

OH→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c は、原点が外心のときだけの式だ。どこでも使ってはだめだぞ。

  • 内心もオイラー線上にあると思う：一直線に並ぶのは外心・重心・垂心の3つ。内心は、ふつうはこの直線上にありません（二等辺三角形などの特別な場合は別）。
  • 比を逆にする：重心 G は OH を OG:GH=1:2OG:GH=1:2 に分けます。外心 O に近いのが G です。
  • OH→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c をどこでも使う：この式は原点が外心のときだけ成り立ちます。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

外心を原点に置く、これがカギだね。

  1. 大学受験 3点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(0, 2) を頂点とする直角三角形で、オイラー線の方程式を求めなさい。
    答えと解説を見る直角の頂点 A が垂心 H(0, 0)、外心は斜辺 BC の中点 O(2, 1)、重心 G(43, 23)G\left(\dfrac43,\ \dfrac23\right)。3点を通る直線は y=12xy=\dfrac12x
  2. 大学受験 正三角形では、外心・重心・垂心はどうなりますか。
    答えと解説を見る3点は1点に重なります（正三角形の中心）。そのため、オイラー線は1本に決まりません。
  3. 大学受験 3点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3) を頂点とする △ABC の九点円の中心と半径を求めなさい。
    答えと解説を見る外心は x=2x=2 上で 4+y2=1+(y−3)24+y^2=1+(y-3)^2 より O(2, 1)O(2,\ 1)、R=5R=\sqrt5。垂心 H=A+B+C−2O=(1, 1)H=A+B+C-2O=(1,\ 1)（C からの垂線 x=1x=1 と A からの垂線 y=xy=x の交点）。中心は OH の中点 (32, 1)\left(\dfrac32,\ 1\right)、半径 52\dfrac{\sqrt5}{2}

関連する公式

よくある質問

オイラー線とは？

三角形の外心・重心・垂心の3点が乗る直線のことです。重心は外心と垂心を結ぶ線分を1:2に内分します。

九点円とは？

3辺の中点、3つの頂点からおろした垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点の、合わせて9点を通る円です。中心は外心と垂心の中点、半径は外接円の半径の半分です。

オイラー線はどうやって証明しますか？

外心を原点にとり、点 a+b+c が垂心になることを内積で確かめます。重心は (a+b+c)/3 なので、外心・重心・垂心が一直線上に並びます。

オイラー線や九点円は高校で習いますか？

高校の教科書の範囲外（発展）です。入試の答案で使うなら、ベクトルによる証明を添えるのが安全です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（図形の性質）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（ベクトル）
  • 高校の範囲外の発展内容（初等幾何）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦