トレミーの定理の公式｜AB·CD+AD·BC=AC·BD の証明・正五角形の対角線・加法定理との関係【大学数学・東大京大レベル】

トレミーの定理の公式｜AB·CD+AD·BC=AC·BD の証明・正五角形の対角線・加法定理との関係【大学数学・東大京大レベル】

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大学受験

AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

四角形 ABCDABCD は円に内接（頂点はこの順）

この公式のポイント

  • 向かい合う辺の積の和＝対角線の積
  • 証明は補助点 E＋円周角で2組の相似
  • 長方形なら三平方の定理、直径1の円なら加法定理
  • 答案では証明を添えて使うのが安全
うかるくん

うかるくん

トレミーの定理って、どの辺とどの辺をかければいいの？

合格先生

合格先生

向かい合う辺どうしをかけて足すんだ。それが対角線どうしの積に等しくなるぞ。

トレミーの定理

円に内接する四角形では、向かい合う辺の積の和が、対角線の積に等しくなります。2世紀ごろのギリシャの天文学者プトレマイオス（英語読みでトレミー）の名前がついた定理です。

円に内接する四角形 ABCD

AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

辺を a=AB, b=BC, c=CD, d=DAa=AB,\ b=BC,\ c=CD,\ d=DA、対角線を p=AC, q=BDp=AC,\ q=BD とすると ac+bd=pqac+bd=pq。

頂点の順番が大事です。A, B, C, DA,\ B,\ C,\ D が円周上にこの順に並ぶときの式です。

ABCDabcdpqac＋bd＝pq向かい合う辺の積の和＝対角線の積AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
円に内接する四角形 ABCD。向かい合う辺の積の和 ac+bdac+bd が、対角線の積 pqpq に等しい

証明（補助点 E と2組の相似）

対角線 BD 上に、∠BAE=∠CAD\angle BAE=\angle CAD となる点 E をとります（∠CAD<∠BAD\angle CAD<\angle BAD なので、E は線分 BD 上にとれます）。

① △ABE と △ACD：∠BAE=∠CAD\angle BAE=\angle CAD（E のとり方）。また ∠ABE=∠ABD=∠ACD\angle ABE=\angle ABD=\angle ACD（弧 AD に対する円周角）。2つの角が等しいので △ABE ∽ △ACD。

ABAC=BECDよりAB⋅CD=AC⋅BE\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}\quad\text{より}\quad AB\cdot CD=AC\cdot BE

② △AED と △ABC：∠EAD=∠BAD−∠BAE=∠BAD−∠CAD=∠BAC\angle EAD=\angle BAD-\angle BAE=\angle BAD-\angle CAD=\angle BAC。また ∠ADE=∠ADB=∠ACB\angle ADE=\angle ADB=\angle ACB（弧 AB に対する円周角）。よって △AED ∽ △ABC。

ADAC=EDBCよりAD⋅BC=AC⋅ED\frac{AD}{AC}=\frac{ED}{BC}\quad\text{より}\quad AD\cdot BC=AC\cdot ED

①と②をたすと、E は線分 BD 上にあるので BE+ED=BDBE+ED=BD。

AB⋅CD+AD⋅BC=AC (BE+ED)=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\,(BE+ED)=AC\cdot BD
ABCDE△ABE∽△ACDAB·CD＝AC·BEABCDE△AED∽△ABCAD·BC＝AC·ED
∠BAE＝∠CAD となる点 E をとると、2組の三角形が相似になる（緑の角どうし・赤の角どうしが等しい）

長方形なら三平方の定理：長方形 ABCD（AB=CD=a, BC=AD=bAB=CD=a,\ BC=AD=b、対角線 cc）は円に内接するので、a⋅a+b⋅b=c⋅ca\cdot a+b\cdot b=c\cdot c。トレミーの定理は三平方の定理をふくむ、もっと広い定理です。

大学受験での使い方

大学受験

例題1（正五角形の対角線）

1辺の長さが1の正五角形 ABCDE の対角線の長さ xx を求めなさい。

解き方

正五角形の頂点は1つの円周上にあるので、四角形 ABCD は円に内接します。AB=BC=CD=1AB=BC=CD=1、AD=AC=BD=xAD=AC=BD=x。トレミーの定理 AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD より

1⋅1+x⋅1=x⋅x1\cdot1+x\cdot1=x\cdot x、x2−x−1=0x^2-x-1=0。x>0x>0 より x=1+52x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}。

答え　1+52\dfrac{1+\sqrt5}{2}

ABCDE111x四角形ABCDでAB·CD＋AD·BC＝AC·BD1·1＋x·1＝x·xx²−x−1＝0x＝(1＋√5)/2（黄金比）
1辺1の正五角形。四角形 ABCD にトレミーの定理を使うと、対角線は黄金比 1+52\dfrac{1+\sqrt5}{2}
大学受験

例題2（正三角形と外接円上の点）

正三角形 ABC の外接円の弧 BC（A をふくまない方）の上に点 P をとります。PA=PB+PCPA=PB+PC を証明しなさい。

解き方

四角形 ABPC は円に内接し、頂点はこの順に並びます。正三角形の1辺を ss とすると、トレミーの定理より

AB⋅PC+AC⋅BP=AP⋅BCAB\cdot PC+AC\cdot BP=AP\cdot BC、つまり s⋅PC+s⋅PB=s⋅PAs\cdot PC+s\cdot PB=s\cdot PA。

両辺を ss でわって PA=PB+PCPA=PB+PC。

答え　PA=PB+PCPA=PB+PC（証明終わり）

大学受験

例題3（対角線の長さ）

AC を直径とする円に内接する四角形 ABCD で、AB=AD=3AB=AD=3、BC=CD=4BC=CD=4 です。対角線 BD の長さを求めなさい。

解き方

AC は直径なので ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ、AC=32+42=5AC=\sqrt{3^2+4^2}=5。

トレミーの定理より AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD、3⋅4+3⋅4=5⋅BD3\cdot4+3\cdot4=5\cdot BD、BD=245BD=\dfrac{24}{5}。

（検算：四角形は AC について対称なので BD⊥AC。BD の半分は直角三角形 ABC の斜辺への高さ 3⋅45=125\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5} で、たしかに BD=245BD=\dfrac{24}{5}。）

答え　BD=245BD=\dfrac{24}{5}

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：トレミーの定理は、高校の教科書で公式として習う内容ではありません（発展やコラムで紹介されることはあります）。ただし証明は、相似と円周角の定理だけでできるので、数学Aの知識で十分に理解できます。

入試での使い方：

  • 記述式の答案では、いきなり使うより、上の「補助点 E と相似」の証明を短く書いてから使うのが安全です。
  • 答えの見当づけや検算には、とても便利です。正弦定理・余弦定理で長い計算をする前に、トレミーの定理で答えを予想できます。
  • 難関大の入試では、円に内接する四角形や正多角形の長さの問題で、この定理が背景になっているものがあります。

加法定理が出てくる：直径 AC=1AC=1 の円に内接する四角形 ABCD で、∠BAC=α\angle BAC=\alpha、∠CAD=β\angle CAD=\beta とします。直径1の円では、弦の長さ＝（その弦に対する円周角の sin⁡\sin）なので、AB=cos⁡αAB=\cos\alpha、BC=sin⁡αBC=\sin\alpha、AD=cos⁡βAD=\cos\beta、CD=sin⁡βCD=\sin\beta、BD=sin⁡(α+β)BD=\sin(\alpha+\beta)。トレミーの定理に入れると

cos⁡αsin⁡β+cos⁡βsin⁡α=sin⁡(α+β)\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha=\sin(\alpha+\beta)

となり、加法定理が出てきます。

トレミーの不等式（略証）：円に内接していない四角形 ABCD でも AB⋅CD+AD⋅BC≥AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC\ge AC\cdot BD が成り立ちます。複素数平面で4点を a, b, c, da,\ b,\ c,\ d とすると、展開して確かめられる恒等式

(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d)(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)

の両辺の絶対値をとり、三角不等式 ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z+w|\le|z|+|w| を使うと出てきます。等号が成り立つのは、四角形 ABCD が円に内接するときです。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

となり合う辺をかけてはだめだ。AB と CD、AD と BC のように向かい合う辺どうしをかけるんだぞ。

  • 頂点の順番をまちがえる：A, B, C, DA,\ B,\ C,\ D が円周上にこの順に並んでいるときの式です。対角線は「1つおきの頂点を結ぶ線」（AC と BD）。辺と対角線を取りちがえると式がくずれます。
  • となり合う辺の積にする：AB⋅BC+CD⋅DAAB\cdot BC+CD\cdot DA ではありません。かけるのは向かい合う辺どうし（AB と CD、AD と BC）。
  • 円に内接しない四角形に使う：ふつうの四角形では等号が成り立たず、左辺の方が大きくなります（トレミーの不等式）。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

向かい合う辺のペアを指でたどってみよう！

  1. 大学受験 円に内接する四角形 ABCD で、AB=2AB=2、BC=3BC=3、CD=4CD=4、DA=5DA=5 のとき、AC⋅BDAC\cdot BD の値を求めなさい。
    答えと解説を見るAC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC=2⋅4+5⋅3=23AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC=2\cdot4+5\cdot3=23
  2. 大学受験 1辺の長さが1の正六角形 ABCDEF で、AD=2AD=2 です。トレミーの定理を使って、対角線 AC の長さを求めなさい。
    答えと解説を見る四角形 ABCD は円に内接し、AC=BD=xAC=BD=x とおくと AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD より 1⋅1+2⋅1=x21\cdot1+2\cdot1=x^2。x=3x=\sqrt3
  3. 大学受験 正三角形 ABC の外接円の弧 BC（A をふくまない方）上の点 P で、PB=2PB=2、PC=3PC=3 のとき、PAPA を求めなさい。
    答えと解説を見る例題2の PA=PB+PCPA=PB+PC より PA=5PA=5

関連する公式

よくある質問

トレミーの定理とは？

円に内接する四角形ABCDで、向かい合う辺の積の和が対角線の積に等しい、つまり AB·CD+AD·BC=AC·BD が成り立つという定理です。

トレミーの定理はどうやって証明しますか？

対角線BD上に∠BAE=∠CADとなる点Eをとると、円周角の定理から△ABE∽△ACD、△AED∽△ABCとなり、2つの比の式をたすと導けます。

トレミーの定理は高校で習いますか？

教科書で公式として習う内容ではありません。証明は相似と円周角の定理でできるので、入試の答案で使うなら証明を添えるのが安全です。

円に内接しない四角形ではどうなりますか？

AB·CD+AD·BC≧AC·BD という不等式（トレミーの不等式）になり、等号は円に内接するときに成り立ちます。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（図形の性質）
  • 高校の範囲外の発展内容（初等幾何）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦