円と直線の位置関係｜中心と直線の距離 d と半径 r・判別式との対応の証明・弦の長さ2√(r²−d²)と接線の例題【数学Ⅱ・大学受験】

円と直線の位置関係

$d$ は点と直線の距離の公式 $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ で求めます（中心 $(x_0,y_0)$、直線 $ax+by+c=0$）。

証明：なぜ d と r で決まるのか

円の中心を O、O から直線におろした垂線の足を H とすると $OH=d$。直線上の点 P について、直角三角形 OHP で三平方の定理より

$$OP^2=d^2+HP^2$$

P が円の上にある ⇔ $OP=r$ ⇔ $HP^2=r^2-d^2$。

• $r>d$ なら $HP=\sqrt{r^2-d^2}>0$。P は H の両側に1つずつ、2点。
• $r=d$ なら $HP=0$、P＝H の1点（接点）。このとき OH⊥直線なので、接線は接点を通る半径に垂直。
• $r<d$ なら $HP^2<0$ となり、そのような P はない。

2点で交わるとき、交点は H から両側に $\sqrt{r^2-d^2}$ ずつなので、弦の長さは $2\sqrt{r^2-d^2}$ です（H は弦の中点）。

判別式との対応

円と直線の共有点の座標は、2つの式の連立方程式の実数解です。直線の式を円の式に代入して $y$ を消すと $x$ の2次方程式になり、実数解の個数＝共有点の個数。だから $D>0,\ D=0,\ D<0$ が「2点・接する・なし」に対応し、$d<r,\ d=r,\ d>r$ と同じことを表します。

たとえば円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=2x+k$ では、代入して $5x^2+4kx+k^2-5=0$、$\dfrac D4=4k^2-5(k^2-5)=25-k^2$。一方 $d=\dfrac{|k|}{\sqrt5}$ で、$d<\sqrt5$ ⇔ $|k|<5$ ⇔ $25-k^2>0$。2つの方法の答えが一致します。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

• 直線を $ax+by+c=0$ の形にしないで距離を計算する：$y=2x+k$ は $2x-y+k=0$ に直してから。
• 弦の長さを $\sqrt{r^2-d^2}$ で止める：それは半分。2倍を忘れない。
• 傾きを文字でおいて $y$ 軸に平行な直線を落とす：$y=m(x-a)+b$ では $x=a$ が表せないので、別に調べる。

練習問題

1. 大学受験 円 $x^2+y^2=4$ と直線 $x-y+2=0$ の位置関係を調べ、交わるなら弦の長さを求めなさい。
   答えと解説を見る

   $d=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2<2$ なので2点で交わる。弦の長さ $2\sqrt{4-2}=2\sqrt2$（交点 $(0,2)$、$(-2,0)$ で確認できる）
2. 大学受験 直線 $y=x+k$ が円 $x^2+y^2=8$ に接するときの $k$ の値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $x-y+k=0$ で $d=\dfrac{|k|}{\sqrt2}=2\sqrt2$ より $|k|=4$。答え $k=\pm4$
3. 大学受験 円 $(x-3)^2+(y-4)^2=r^2$（$r>0$）が直線 $3x+4y=0$ と共有点をもたないような $r$ の範囲を求めなさい。
   答えと解説を見る

   中心 $(3,4)$ から直線への距離 $d=\dfrac{|9+16|}{5}=5$。$d>r$ より $0<r<5$

関連する公式

• 円の方程式
• 点と直線の距離の公式
• 接線の方程式
• 2次方程式の解の公式・判別式
• 三平方の定理
• 軌跡と領域

よくある質問

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