グラム・シュミットの直交化の公式｜正規直交基底の作り方・証明・正射影と距離の例題【大学院入試・線形代数】

うかるくん

グラム・シュミットって、結局なにを引き算しているの？

合格先生

作った方向への正射影だ。それを引いた残りは、前のベクトルすべてに垂直になるぞ。

内積とグラム・シュミットの直交化

1次独立なベクトルの組から、互いに直交し長さ1のベクトルの組（正規直交系）を順に作る方法がグラム・シュミットの直交化です。やることは「すでに作った方向の成分（正射影）を引いて、長さを1にする」のくり返しだけです。

ここで $(\ ,\ )$ は内積です。$\mathbb R^n$ では標準内積 $(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ ですが、関数の空間で $(f,g)=\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx$ としても、内積の性質（対称性・線形性・$(\boldsymbol x,\boldsymbol x)>0\ (\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0)$）をみたすので、同じ方法が使えます（例題2）。

証明：正射影を引くと直交する

$k$ についての帰納法で示します。$\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_{k-1}$ が正規直交系で、$\boldsymbol a_1,\cdots,\boldsymbol a_{k-1}$ と同じ部分空間 $W_{k-1}$ を張っているとします（$k=1$ では $\boldsymbol e_1=\boldsymbol a_1/\|\boldsymbol a_1\|$ で明らか）。

① $\boldsymbol u_k$ は前のすべてと直交する

$i<k$ のとき、内積の線形性と $(\boldsymbol e_j,\boldsymbol e_i)=\delta_{ji}$ から

② $\boldsymbol u_k\neq\boldsymbol 0$ なので正規化できる

もし $\boldsymbol u_k=\boldsymbol 0$ なら $\boldsymbol a_k=\sum(\boldsymbol a_k,\boldsymbol e_j)\boldsymbol e_j\in W_{k-1}$ となり、$\boldsymbol a_k$ が $\boldsymbol a_1,\cdots,\boldsymbol a_{k-1}$ の1次結合になって1次独立に反します。よって $\boldsymbol e_k=\boldsymbol u_k/\|\boldsymbol u_k\|$ が作れて、$\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k$ は正規直交系です。

③ 張る空間が同じ

$\boldsymbol e_k$ は $\boldsymbol a_k$ と $W_{k-1}$ の元の1次結合、逆に $\boldsymbol a_k=\|\boldsymbol u_k\|\boldsymbol e_k+\sum(\boldsymbol a_k,\boldsymbol e_j)\boldsymbol e_j$ です。よって両方とも同じ空間 $W_k$ を張ります。これで帰納法が完成します。

式の意味は図2のとおりです。$\sum_{j<k}(\boldsymbol a_k,\boldsymbol e_j)\boldsymbol e_j$ は $\boldsymbol a_k$ の $W_{k-1}$ への正射影で、それを引いた $\boldsymbol u_k$ は $W_{k-1}$ に垂直な成分です。

大学院入試では

数値の直交化、関数の空間での直交化、正射影（最も近い点・距離）の3つが定番です。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学初年級の線形代数の「内積空間（計量ベクトル空間）」で学びます。対称行列の直交対角化で直交行列を作るときにも使います。
• 答案で示すべきこと：1本ごとに $\boldsymbol u_k$ の式を書き、最後に内積が $0$・長さが $1$ になることを確かめた一文を入れると、計算ミスにも気づけます。
• 内積が何かを確認：関数の空間では積分区間や重みで内積が変わり、答えも変わります（例題2の区間 $[-1,1]$ を $[0,1]$ にすると結果が別になる）。
• よくある出題の形：数値ベクトルの正規直交化、多項式の直交化、正射影と距離、直交補空間の基底、$A=QR$（QR分解）などです。

よくある間違い

合格先生

長さ1でない $\boldsymbol u_j$ で引くときは、$(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_j)$ で割るのを忘れるな。

• 正規化していないベクトルで $(\boldsymbol a_k,\boldsymbol u_j)\boldsymbol u_j$ を引く：$\boldsymbol u_j$ の長さが1でないときは $(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_j)$ で割ります。例題1で割り忘れると直交しません。
• 元の $\boldsymbol a_j$ への射影を引く：引くのは直交化済みの $\boldsymbol e_j$（または $\boldsymbol u_j$）方向の成分です。$\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ 方向をそれぞれ引いても、3本目は直交しません。
• 順番を変えても同じ結果だと思う：張る空間は同じでも、できる正規直交系は順番で変わります。問題の順に従います。

練習問題

うかるくん

最後に内積が0か確かめれば安心だ！

1. 大学院入試 $\boldsymbol a_1=(1,1)$、$\boldsymbol a_2=(1,3)$ を、標準内積について正規直交化しなさい。
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   $\boldsymbol e_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$。$\boldsymbol u_2=(1,3)-\dfrac{4}{2}(1,1)=(-1,1)$。答え $\boldsymbol e_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$、$\boldsymbol e_2=\dfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)$
2. 大学院入試 $\boldsymbol a_1=(1,0,1)$、$\boldsymbol a_2=(1,1,1)$ を、標準内積について正規直交化しなさい。
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   $\boldsymbol e_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,0,1)$。$(\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_1)=2$、$(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_1)=2$ より $\boldsymbol u_2=(1,1,1)-(1,0,1)=(0,1,0)$。答え $\boldsymbol e_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,0,1)$、$\boldsymbol e_2=(0,1,0)$
3. 大学院入試 内積 $(f,g)=\displaystyle\int_0^1f(x)g(x)\,dx$ について、$1,\ x$ を正規直交化しなさい。
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   $(1,1)=1$ より $e_1=1$。$(x,1)=\dfrac12$ より $u_2=x-\dfrac12$。$(u_2,u_2)=\displaystyle\int_0^1\left(x-\dfrac12\right)^2dx=\dfrac1{12}$。答え $e_1=1$、$e_2=2\sqrt3\left(x-\dfrac12\right)$

関連する公式

• ベクトルの内積（高校での内積と正射影）
• コーシー・シュワルツの不等式（内積の基本不等式）
• ベクトル空間の基底と次元
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• 点と直線の距離（正射影と距離）
• 空間ベクトルと座標

よくある質問

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