基底と次元・次元定理の公式｜1次独立の判定・核と像の求め方と証明・例題【大学院入試・線形代数】

うかるくん

核と像の次元を足すと、なんで元の空間の次元になるの？

合格先生

核の基底を広げて全体の基底を作るんだ。足した分の行き先が、ちょうど像の基底になるぞ。

基底と次元、次元定理

ベクトル空間の「大きさ」を表すのが次元、その空間を作る最小の材料が基底です。線形写像 $f$ で「つぶれる部分（核）」と「届く部分（像）」の次元を足すと、もとの空間の次元になります。これが次元定理です。

基底があると、どのベクトルもただ1通りに $c_1\boldsymbol a_1+\cdots+c_n\boldsymbol a_n$ と書けます（2通りに書けたら、引き算して1次独立に反する）。この係数の組が「その基底での座標」です。

証明：核の基底を広げる

$V$ は有限次元で $\dim V=n$ とします。「1次独立なベクトルの組は、ベクトルを足して $V$ の基底に広げられる」という事実（基底の延長）を使います。

① 核の基底から $V$ の基底を作る

$\mathrm{Ker}\,f$ の基底を $\boldsymbol u_1,\cdots,\boldsymbol u_k$ とし、これを広げて $V$ の基底 $\boldsymbol u_1,\cdots,\boldsymbol u_k,\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_r$（$k+r=n$）を作ります。目標は「$f(\boldsymbol v_1),\cdots,f(\boldsymbol v_r)$ が $\mathrm{Im}\,f$ の基底」を示すことです。そうすれば $\dim\mathrm{Im}\,f=r=n-k$ です。

② 生成すること

$\mathrm{Im}\,f$ の元は $f(\boldsymbol x)$ の形。$\boldsymbol x=\sum a_i\boldsymbol u_i+\sum b_j\boldsymbol v_j$ と書くと、$f(\boldsymbol u_i)=\boldsymbol 0$ なので

よって $f(\boldsymbol v_1),\cdots,f(\boldsymbol v_r)$ は $\mathrm{Im}\,f$ を生成します。

③ 1次独立であること

$\sum c_jf(\boldsymbol v_j)=\boldsymbol 0$ とすると、線形性から $f\left(\sum c_j\boldsymbol v_j\right)=\boldsymbol 0$、つまり $\sum c_j\boldsymbol v_j\in\mathrm{Ker}\,f$。核の基底で $\sum c_j\boldsymbol v_j=\sum d_i\boldsymbol u_i$ と書けるので

$\boldsymbol u_1,\cdots,\boldsymbol v_r$ は $V$ の基底で1次独立なので、すべての $c_j=0$。以上で $\dim\mathrm{Im}\,f=r$、すなわち $\dim V=k+r=\dim\mathrm{Ker}\,f+\dim\mathrm{Im}\,f$ が示せました。

大学院入試では

院試では「1次独立かどうかの判定」「核と像の基底と次元」「部分空間の次元」が定番です。行基本変形（掃き出し）で階段行列にするのが共通の道具です。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学初年級の線形代数の後半（ベクトル空間・線形写像）で学びます。前半の連立1次方程式・階数（ランク）の計算がそのまま道具になります。
• 答案で示すべきこと：「基底である」と書くには、1次独立と生成するの両方が必要です。ただし次元が分かっているときは、個数が次元と等しい1次独立な組はそれだけで基底です（例題3の像の議論）。
• 像の基底はもとの行列の列から：階段行列の列ではなく、主成分の位置に対応するもとの $A$ の列を選びます。
• よくある出題の形：行列で定まる写像の核・像、連立方程式の解空間の次元、多項式や行列の空間の部分空間、「$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$」を使う問題などです。

よくある間違い

合格先生

像の基底に階段行列の列を書くのは誤りだ。主成分の位置にある、もとの $A$ の列を選ぼう。

• 像の基底に階段行列の列を書く：行基本変形で列の空間は変わります。例題2では階段行列の第3列 $(0,1,0)$ ではなく、もとの第3列 $(0,1,1)$ を書きます。
• 1次独立を「どの2本も比例しない」で判定する：3本以上では不十分です。例題1の3本はどの2本も比例しませんが1次従属です。
• 核の次元を方程式の本数で決める：$\dim\mathrm{Ker}\,A=n-\mathrm{rank}\,A$ です。式の本数ではなく、行基本変形で残った本数（階数）で引きます。

練習問題

サクラちゃん

まずは行基本変形で階数を出そうね！

1. 大学院入試 $\mathbb R^3$ のベクトル $(1,1,0)$、$(0,1,1)$、$(1,0,1)$ は $\mathbb R^3$ の基底になるか。
   答えと解説を見る

   3本を並べた行列式は $1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)-1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)+0=2\neq0$ なので1次独立。$\dim\mathbb R^3=3$ と本数が等しいので基底になる
2. 大学院入試 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ について、$\mathrm{rank}\,A$ と $\mathrm{Ker}\,A$ の基底を求めなさい。
   答えと解説を見る

   行基本変形で $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}$、$\mathrm{rank}\,A=2$。$x_1+2x_2+3x_3=0$、$-3x_2-6x_3=0$ より $x_2=-2x_3$、$x_1=x_3$。答え $\mathrm{rank}\,A=2$、$\mathrm{Ker}\,A$ の基底 $\{(1,-2,1)\}$（次元 $3-2=1$）
3. 大学院入試 $W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid x+y+z+w=0,\ x-y+2z=0\}$ の次元と基底を求めなさい。
   答えと解説を見る

   第2式から $x=y-2z$。第1式に入れて $w=-2y+z$。$y=s,\ z=t$ とおくと $(x,y,z,w)=s(1,1,0,-2)+t(-2,0,1,1)$。2本は1次独立。答え 次元2、基底 $\{(1,1,0,-2),(-2,0,1,1)\}$

関連する公式

• 連立1次方程式と階数（ランク）（核の次元の計算）
• 行列式の計算と性質（1次独立の判定）
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• 固有値と固有ベクトル（固有空間の次元）
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よくある質問

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