コーシー・シュワルツの不等式の公式｜(a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)²の証明（判別式・ベクトル）と最大最小の例題【大学数学・東大京大レベル】

コーシー・シュワルツの不等式の公式｜(a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)²の証明（判別式・ベクトル）と最大最小の例題【大学数学・東大京大レベル】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 数と式

大学受験大学院入試

(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)≥(∑k=1nakbk)2\Big(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\Big)\Big(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\Big)\ge\Big(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\Big)^2

等号は (a1,…,an)(a_1,\dots,a_n) と (b1,…,bn)(b_1,\dots,b_n) が比例するとき

この公式のポイント

  • 2乗の和の積 ≧ 積の和の2乗
  • 等号は2組の数が比例するとき
  • 証明は判別式か内積と cos⁡θ\cos\theta
  • 条件つきの最大・最小で、等号の成立を必ず確かめる
うかるくん

うかるくん

不等式で −5≤3x+4y≤5-5\le3x+4y\le5 と出たら、もう最大値5で決まりなの？

合格先生

合格先生

まだだ。等号が成り立つのは2組の数が比例するときだ。その x, yx,\ y が実際にあると示して、はじめて最大値と言えるぞ。

コーシー・シュワルツの不等式

「2乗の和どうしの積」と「積の和の2乗」をくらべる不等式です。条件つきの最大・最小や、不等式の証明で強力な道具になります。

実数 a₁,…,aₙ と b₁,…,bₙ について

(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2

等号は、2組の数が比例するとき（bk=takb_k=ta_k となる実数 tt がある、または aka_k がすべて0のとき）。

よく使う形：(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2　（等号は a:b=x:ya:b=x:y）

ベクトルの形：∣a⃗⋅b⃗∣≤∣a⃗∣∣b⃗∣|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|

θOab影の長さ |b|cosθa・b＝|a||b|cosθ−1≦cosθ≦1 だから|a・b|≦|a||b|
内積は ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec a||\vec b|\cos\theta。∣cos⁡θ∣≤1|\cos\theta|\le1 なので ∣a⃗⋅b⃗∣≤∣a⃗∣∣b⃗∣|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|

なぜ成り立つのか（3通りの証明）

証明①（2つずつの場合：差を作る）

(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2=a2y2+b2x2−2abxy=(ay−bx)2≥0(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=a^2y^2+b^2x^2-2abxy=(ay-bx)^2\ge0

等号は ay=bxay=bx、つまり a:b=x:ya:b=x:y のときです。

証明②（nn 個の場合：2次関数の判別式）　aka_k がすべて0なら両辺とも0で成り立ちます。そうでないとき、tt の関数

f(t)=∑k=1n(akt−bk)2=(∑ak2)t2−2(∑akbk)t+∑bk2f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt-b_k)^2=\Big(\sum a_k^2\Big)t^2-2\Big(\sum a_kb_k\Big)t+\sum b_k^2

を考えます。2乗の和なので、すべての実数 tt で f(t)≥0f(t)\ge0。t2t^2 の係数 ∑ak2\sum a_k^2 は正なので、判別式 D≤0D\le0 です。

D4=(∑akbk)2−(∑ak2)(∑bk2)≤0\frac D4=\Big(\sum a_kb_k\Big)^2-\Big(\sum a_k^2\Big)\Big(\sum b_k^2\Big)\le0

等号 D=0D=0 は、f(t)=0f(t)=0 となる tt があるとき、つまりすべての kk で bk=takb_k=ta_k のときです。

証明③（ベクトル）　n=2, 3n=2,\ 3 なら、a⃗=(a1,a2,a3)\vec a=(a_1,a_2,a_3)、b⃗=(b1,b2,b3)\vec b=(b_1,b_2,b_3) のなす角を θ\theta として a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta。cos⁡2θ≤1\cos^2\theta\le1 から (a⃗⋅b⃗)2≤∣a⃗∣2∣b⃗∣2(\vec a\cdot\vec b)^2\le|\vec a|^2|\vec b|^2。これを成分で書いたものが、この不等式です。等号は cos⁡θ=±1\cos\theta=\pm1、つまり2つのベクトルが平行のときです。

xyO(3/5, 4/5)(−3/5, −4/5)3x＋4y＝5（最大）3x＋4y＝−5（最小）3x＋4y＝0x²＋y²＝1
例題1の図：直線 3x+4y=k3x+4y=k が円 x2+y2=1x^2+y^2=1 と共有点をもつのは −5≤k≤5-5\le k\le5

大学受験での使い方

大学受験

例題1（円の上での最大・最小）

x2+y2=1x^2+y^2=1 のとき、3x+4y3x+4y の最大値と最小値を求めなさい。

解き方

コーシー・シュワルツの不等式より (32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2(3^2+4^2)(x^2+y^2)\ge(3x+4y)^2。よって (3x+4y)2≤25(3x+4y)^2\le25、−5≤3x+4y≤5-5\le3x+4y\le5。

等号は x:y=3:4x:y=3:4 のとき。x=3tx=3t、y=4ty=4t を x2+y2=1x^2+y^2=1 に入れて t=±15t=\pm\dfrac15。

(x, y)=(35, 45)(x,\ y)=\left(\dfrac35,\ \dfrac45\right) で最大 55、(−35, −45)\left(-\dfrac35,\ -\dfrac45\right) で最小 −5-5。

答え　最大値 55、最小値 −5-5

大学受験

例題2（和が一定のときの2乗の和）

実数 x, y, zx,\ y,\ z が x+y+z=1x+y+z=1 をみたすとき、x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 の最小値を求めなさい。

解き方

(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x+y+z)^2=1 より x2+y2+z2≥13x^2+y^2+z^2\ge\dfrac13。

等号は x:y:z=1:1:1x:y:z=1:1:1、つまり x=y=z=13x=y=z=\dfrac13 のときで、このとき実際に 13\dfrac13 になる。

答え　13\dfrac13（x=y=z=13x=y=z=\dfrac13 のとき）

大学受験

例題3（分数の和の不等式）

a, b, c>0a,\ b,\ c>0 のとき、(a+b+c)(1a+1b+1c)≥9(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\ge9 を示しなさい。

解き方

1組目に a, b, c\sqrt a,\ \sqrt b,\ \sqrt c、2組目に 1a, 1b, 1c\dfrac1{\sqrt a},\ \dfrac1{\sqrt b},\ \dfrac1{\sqrt c} をあてはめると、積の和は 1+1+1=31+1+1=3。

よって (a+b+c)(1a+1b+1c)≥32=9(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\ge3^2=9。

等号は a:b:c=1a:1b:1c\sqrt a:\sqrt b:\sqrt c=\dfrac1{\sqrt a}:\dfrac1{\sqrt b}:\dfrac1{\sqrt c}、つまり a=b=ca=b=c のとき。

答え　証明は解き方のとおり（等号は a=b=ca=b=c のとき）

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

2つずつの形 (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2 は、数学Ⅱ「式と証明」の不等式の証明の問題として、教科書や問題集によく出てきます。一方、nn 個の一般の形や「コーシー・シュワルツの不等式」という名前は、高校の教科書の中心内容ではなく、大学の線形代数や解析学で本格的に学ぶ発展内容です。

  • 答案での使い方：名前を書いて使ってもまちがいではありませんが、どこまで説明が必要かの採点方針は大学ごとに分かりません。2〜3個の場合なら、証明①や証明②（判別式）を数行で書いてから使うと安全です。
  • 等号の条件を必ず確かめる：最大値・最小値の問題では、等号が成り立つ x, yx,\ y を実際に示さないと「最大値」「最小値」とは言えません。
  • 見当づけ・検算：最大・最小の値と、そのときの比がすぐ分かります。微分や図形で解いた答えの検算に便利です。
  • 難関大の入試では、この不等式が背景になっている問題があります。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

右辺の2乗を忘れるな。(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2 と、積の和を2乗するんだぞ。

  • 等号の条件を確かめない：不等式で下限を出しても、その値をとる x, yx,\ y がなければ最小値ではない。
  • 右辺の2乗を忘れる：(a2+b2)(x2+y2)≥ax+by(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge ax+by ではなく、(ax+by)2(ax+by)^2。
  • 負の数で  \sqrt{\ } を使う：例題3のように a\sqrt a をあてはめる変形は、a>0a>0 のときだけ。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

どの2組をかけ合わせるかが勝負だね！

  1. 大学受験 実数 x, yx,\ y が 2x+y=52x+y=5 をみたすとき、x2+y2x^2+y^2 の最小値を求めなさい。
    答えと解説を見る(22+12)(x2+y2)≥(2x+y)2=25(2^2+1^2)(x^2+y^2)\ge(2x+y)^2=25 より x2+y2≥5x^2+y^2\ge5。等号は x:y=2:1x:y=2:1、x=2, y=1x=2,\ y=1 のとき。最小値 55
  2. 大学受験 実数 x, y, zx,\ y,\ z が x2+y2+z2=9x^2+y^2+z^2=9 をみたすとき、x+2y+2zx+2y+2z の最大値を求めなさい。
    答えと解説を見る(12+22+22)(x2+y2+z2)≥(x+2y+2z)2(1^2+2^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x+2y+2z)^2 より (x+2y+2z)2≤81(x+2y+2z)^2\le81、x+2y+2z≤9x+2y+2z\le9。等号は (x, y, z)=(1, 2, 2)(x,\ y,\ z)=(1,\ 2,\ 2) のとき。最大値 99
  3. 大学受験 x, y>0x,\ y>0、x+y=1x+y=1 のとき、1x+4y\dfrac1x+\dfrac4y の最小値を求めなさい。
    答えと解説を見る1組目 x, y\sqrt x,\ \sqrt y、2組目 1x, 2y\dfrac1{\sqrt x},\ \dfrac2{\sqrt y} として (x+y)(1x+4y)≥(1+2)2=9(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac4y\right)\ge(1+2)^2=9。等号は x:y=1x:2y\sqrt x:\sqrt y=\dfrac1{\sqrt x}:\dfrac2{\sqrt y} より y=2xy=2x、x=13, y=23x=\dfrac13,\ y=\dfrac23 のとき。最小値 99

関連する公式

よくある質問

コーシー・シュワルツの不等式とは？

(a₁²+…+aₙ²)(b₁²+…+bₙ²)≧(a₁b₁+…+aₙbₙ)² という不等式です。2つずつなら (a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)² です。

等号が成り立つのはいつですか？

2組の数が比例するとき、つまり b₁:…:bₙ が a₁:…:aₙ と同じ比になるとき（一方がもう一方の実数倍のとき）です。

どうやって証明しますか？

すべての t で0以上になる2次関数 Σ(aₖt−bₖ)² の判別式が0以下になることから示せます。2つずつなら、差が (ay−bx)² になることでも示せます。

入試の答案でそのまま使ってよいですか？

使ってもまちがいではありませんが、2〜3個の場合は短い証明をそえてから使うと安全です。最大・最小では等号が成り立つ値を必ず示します。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（式と証明）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦