ガンマ関数・ベータ関数の公式｜Γ(n+1)=n!・B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)の証明と例題【大学院入試・微分積分】

ガンマ関数・ベータ関数の公式

ガンマ関数は、階乗 $n!$ を整数でない数にまで広げた関数です。ベータ関数は $\displaystyle\int_0^1x^a(1-x)^b\,dx$ の形の積分で、ガンマ関数で表せます。

証明

① 収束（$s>0$ のとき）

$0<x\le1$ では $0<x^{s-1}e^{-x}\le x^{s-1}$ で、$\displaystyle\int_0^1x^{s-1}dx=\frac1s$ は $s>0$ なら有限。$x\ge1$ では、$x^{s-1}e^{-\frac x2}$ が有界（指数関数は多項式より速く小さくなる）なので $x^{s-1}e^{-x}\le Ce^{-\frac x2}$ となり有限です。

② $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$（部分積分）

$$\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^se^{-x}\,dx=\Big[-x^se^{-x}\Big]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx=s\,\Gamma(s)$$

$s>0$ なので $x=0$ でも $x\to\infty$ でも $x^se^{-x}\to0$。$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}dx=1$ から、$\Gamma(n+1)=n\cdot(n-1)\cdots1\cdot\Gamma(1)=n!$ です。

③ $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$

$x=t^2$（$dx=2t\,dt$）とおくと $\Gamma(\frac12)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-t^2}}{t}\,2t\,dt=2\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$（ガウス積分）。

④ $B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

$\Gamma(p)\Gamma(q)=\displaystyle\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty x^{p-1}y^{q-1}e^{-(x+y)}\,dx\,dy$ で、$x=uv,\ y=u(1-v)$（$u>0,\ 0<v<1$）と変数変換します。

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}v&u\\1-v&-u\end{pmatrix}=-uv-u(1-v)=-u$$

$|J|=u$ なので

$$\Gamma(p)\Gamma(q)=\int_0^\infty u^{p+q-1}e^{-u}\,du\int_0^1v^{p-1}(1-v)^{q-1}\,dv=\Gamma(p+q)\,B(p,q)$$

（被積分関数が正なので、広義の重積分を累次積分に分けてよいことを使っています。）三角関数の形は、$x=\sin^2\theta$（$dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$）と置換すると出ます。

大学院入試では

院試では、見た目のちがう積分を「ガンマ関数・ベータ関数の形」に置換して、一気に値を出す問題がよく出ます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1〜2年の微分積分学（広義積分）の応用として習います。確率統計（ガンマ分布・ベータ分布・カイ2乗分布）や物理（球の体積の一般化）でも使います。
• 答案で示すこと：①広義積分が収束する範囲（$s>0$、$p,q>0$）、②どの置換でガンマ・ベータの形にしたか、③$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ の部分積分では、はしの項が $0$ になる理由。
• よく出る形：$\displaystyle\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx$、$\displaystyle\int_0^\infty x^{2n}e^{-x^2}dx$（$t=x^2$）、$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^m\theta\cos^n\theta\,d\theta$（ウォリス積分の一般化）、$B$ と $\Gamma$ の関係の証明そのもの。
• スターリングの公式は、$\Gamma(n+1)=n!$ の大きな $n$ での近似です。

よくある間違い

• $\Gamma(n)=n!$ と書く：正しくは $\Gamma(n)=(n-1)!$、$\Gamma(n+1)=n!$。1つずれます。
• ベータ関数の指数をそのまま入れる：$\displaystyle\int_0^1x^2(1-x)^3dx$ は $B(2,3)$ ではなく $B(3,4)$。指数に $1$ を足したものが $p,\ q$ です。
• 三角関数の形で係数2を忘れる：$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,d\theta=\frac12B(p,q)$ です。

練習問題

1. 大学院入試 $\Gamma\!\left(\dfrac72\right)$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac52\cdot\dfrac32\cdot\dfrac12\sqrt\pi$。答え $\dfrac{15\sqrt\pi}8$
2. 大学院入試 $\displaystyle\int_0^1x^3(1-x)^4\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $B(4,5)=\dfrac{3!\,4!}{8!}=\dfrac{144}{40320}$。答え $\dfrac1{280}$
3. 大学院入試 $\displaystyle\int_0^\infty x^4e^{-x^2}\,dx$ を、$t=x^2$ と置換してガンマ関数で求めなさい。
   答えと解説を見る

   $x=\sqrt t,\ dx=\dfrac{dt}{2\sqrt t}$ より $\displaystyle\int_0^\infty t^2e^{-t}\frac{dt}{2\sqrt t}=\frac12\Gamma\!\left(\frac52\right)=\frac12\cdot\frac{3\sqrt\pi}4$。答え $\dfrac{3\sqrt\pi}8$

関連する公式

• ガウス積分（$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$）
• 変数変換とヤコビアン（$B$ と $\Gamma$ の関係の証明）
• ウォリス積分
• スターリングの公式
• 置換積分・部分積分
• 順列・組合せ（階乗）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）