べき級数の収束半径の公式｜ダランベール・コーシー・アダマールの判定法の証明と例題【大学院入試・微分積分】

べき級数と収束半径の公式

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ の形の無限級数をべき級数（整級数）といいます。どんなべき級数にも、「この範囲の内側なら収束、外側なら発散」という境目の半径 $R$ があり、これを収束半径といいます。

証明

① 鍵になる補題（アーベルの補題）

$x=x_0\ (\ne0)$ で $\sum a_nx_0^n$ が収束するなら、$|x|<|x_0|$ のすべての $x$ で絶対収束する。

収束する級数の項は $0$ に近づくので、$|a_nx_0^n|\le M$ となる $M$ があります。$r=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|<1$ とすると

$$|a_nx^n|=|a_nx_0^n|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le Mr^n$$

右辺は公比 $r<1$ の等比級数で収束するので、比較により $\sum|a_nx^n|$ も収束します。対偶から、ある点で発散すれば、それより外側ではすべて発散します。よって「収束する $|x|$」と「発散する $|x|$」の境目 $R$ が1つに決まります。

② ダランベールの判定法から $R$ を求める

$\displaystyle\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$ とします。項どうしの比は

$$\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|\to L|x|$$

$L|x|<1$ なら、ある番号から先は比が $1$ より小さい一定の数 $q$ 以下になり、$|a_nx^n|$ は公比 $q$ の等比数列でおさえられるので絶対収束。$L|x|>1$ なら項が $0$ に近づかないので発散。よって $R=\dfrac1L$ です。コーシー・アダマールの公式も、$n$ 乗根で同じように等比級数と比べて示せます（略証）。

③ 項別微分・項別積分

$|x|<R$ では、べき級数は項ごとに微分・積分してよく、そうしてできたべき級数の収束半径も同じ $R$ です（略証：$\lim\sqrt[n]{n}=1$ なので、$na_n$ と $a_n$ でコーシー・アダマールの値が変わらない）。ただし、はしでの収束・発散は変わることがあります。

大学院入試では

院試では「収束半径を求めよ」「収束する $x$ の範囲（はしもふくめて）を求めよ」「和を求めよ」の3つがセットで出ます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1年の微分積分学（級数）で習います。2年以降の複素関数論では、複素数 $z$ の範囲で「収束円」として本格的に使います。
• 答案で示すこと：①判定法の名前と極限の計算、②$|x|<R$ で絶対収束・$|x|>R$ で発散という結論、③はし $x=\pm R$ を別々に調べた結果（比較判定法・交代級数・項が $0$ に近づくか）。
• よく出る形：$\sum\dfrac{x^n}{n^p}$、中心がずれた $\sum a_n(x-c)^n$、項別微分で和を求める $\sum nx^n$、マクローリン展開の収束範囲（$\log(1+x)$ は $-1<x\le1$）。
• 判定法の使い分け：比の極限が求めにくいとき（$n^n$ や $\left(1+\frac1n\right)^{n^2}$ をふくむ）は $n$ 乗根のほうが楽です。

よくある間違い

• はしを調べない：$|x|=R$ では収束も発散もありえます。例題1のように片方だけ収束することもあります。
• 比の逆数をとり忘れる：$\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$ のとき $R=\dfrac1L$ です。$R=L$ ではありません。
• とびとびの項に比の公式をそのまま使う：$a_n=0$ になる項があると比が定義できません。$t=x^2$ とおくか、$n$ 乗根を使います（例題3）。

練習問題

1. 大学院入試 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nx^n$ の収束半径と、収束する $x$ の範囲を求めなさい。
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   $\dfrac{n+1}{n}\to1$ より $R=1$。$x=\pm1$ では項 $n(\pm1)^n$ が $0$ に近づかないので発散。答え $R=1$、範囲は $-1<x<1$
2. 大学院入試 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^n}{n\cdot3^n}$ が収束する $x$ の範囲を求めなさい。
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   $t=x-1$ として $\dfrac{n\cdot3^n}{(n+1)3^{n+1}}\to\dfrac13$ より $R=3$。$t=3$ で $\sum\dfrac1n$（発散）、$t=-3$ で $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$（収束）。$-3\le x-1<3$。答え $-2\le x<4$
3. 大学院入試 $|x|<1$ のとき、$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nx^n$ の和を求めなさい。
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   $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}$ を項別微分して $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}$。両辺に $x$ をかける。答え $\dfrac{x}{(1-x)^2}$

関連する公式

• マクローリン展開（べき級数で表す代表例）
• テイラー展開とテイラーの定理
• 等比数列の和（比較の相手）
• 数列の極限
• オイラーの公式（$e^{ix}$ のべき級数）
• 1階線形微分方程式（べき級数で解く方法もある）

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）