数学的帰納法｜なぜ「すべて」と言えるのかの説明（ドミノ）とΣk²・倍数・不等式の証明例【大学受験 数学B】

数学的帰納法とは

自然数 $n$ についての命題 $P(n)$ が、すべての自然数で成り立つことを示す証明の方法です。

なぜこれで「すべて」と言えるのか

[1]で $P(1)$ が正しい。[2]で $k=1$ とすると $P(1)\Rightarrow P(2)$ なので $P(2)$ も正しい。$k=2$ とすると $P(3)$ も正しい……と、どの自然数 $n$ にも有限回でたどりつけます。

逆に、成り立たない自然数があったとして、その中でいちばん小さいものを $m$ とすると、[1]より $m\ge2$、$m-1$ では成り立つので[2]から $m$ でも成り立ち、矛盾します。だから例外はありません。「自然数は1から1つずつたどれる」という性質そのものが、この証明法の正しさを支えています。

例：Σk² の公式を帰納法で証明する

Σの公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を証明します。

[1] $n=1$：左辺 $1$、右辺 $\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}=1$。成り立つ。

[2] $n=k$ で成り立つと仮定する：$1^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$。このとき

$$\begin{aligned}1^2+\cdots+k^2+(k+1)^2&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\&=\frac{(k+1)\{k(2k+1)+6(k+1)\}}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\&=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{aligned}$$

これは右辺の $n$ に $k+1$ を入れたもの $\dfrac{(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}}{6}$ と一致。よって $n=k+1$ でも成り立つ。[1][2]より、すべての自然数で成り立ちます。

ポイントは、[2]で仮定した式を必ず使うこと。そして目標の形（$k$ を $k+1$ にした式）を先に書いておくと、変形の方向がはっきりします。

大学受験（数学B）での使い方

例題2のように、出発点は1とは限りません。「$n=5$ で成り立つ」から始めれば、$n\ge5$ のすべてで成り立ちます（$n=4$ では $16=16$ で等号）。

よくある間違い

• [1]を省略する：出発点がないと、ドミノは1枚もたおれない。
• [2]で仮定を使わない：使わずに示せるなら、帰納法は必要ない。
• 結論の文を書かない：最後に「[1][2]より、すべての自然数 $n$ について成り立つ」と書く。

練習問題

1. 大学受験 $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ を数学的帰納法で証明しなさい。
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   [1] $n=1$：$1=1$。[2] $k^2+(2k+1)=(k+1)^2$ なので $n=k+1$ でも成り立つ。
2. 大学受験 すべての自然数 $n$ で $4^n-1$ は3の倍数であることを証明しなさい。
   答えと解説を見る

   [1] $4-1=3$。[2] $4^k-1=3m$ と仮定すると $4^{k+1}-1=4(3m+1)-1=12m+3=3(4m+1)$。

関連する公式

• Σの公式（帰納法でも証明できる）
• 漸化式の解き方（一般項の予想→帰納法で証明）
• 等差数列の和の公式
• 二項定理
• 整数の性質
• ド・モアブルの定理

よくある質問

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