約数の個数・総和の公式と倍数の見分け方｜(a+1)(b+1) の証明・3の倍数が各位の和で分かる理由と例題【中学受験〜大学受験】

約数の個数と総和の公式

証明：約数は「それぞれの素数を何個使うか」で決まる

$N=p^aq^b$ の約数は、必ず $p^xq^y$（$0\le x\le a$、$0\le y\le b$）の形です。$x$ の選び方が $a+1$ 通り（0個〜$a$ 個）、$y$ の選び方が $b+1$ 通り。組み合わせごとに別の約数になる（素因数分解はただ1通りだから）ので、個数は $(a+1)(b+1)$。

総和は、$(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)$ を展開すると、$p^xq^y$ がすべてちょうど1回ずつ出てくることから分かります。例：72の約数の和は $(1+2+4+8)(1+3+9)=15\times13=195$。

倍数の見分け方と、その証明

3の倍数・9の倍数の証明

3けたの数 $\overline{abc}=100a+10b+c$ を変形します。

$$100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$$

$9(11a+b)$ はいつも9の倍数（3の倍数でもある）なので、$\overline{abc}$ が3（9）の倍数かどうかは、$a+b+c$ が3（9）の倍数かどうかで決まります。$10=9+1$、$100=99+1$ のように、10の累乗は「9の倍数＋1」だからです。何けたでも同じです。

余りの計算

足し算・引き算・かけ算は、余りだけで計算してよい（合同式）。たとえば $17\times23$ を5で割った余りは、$17\to2$、$23\to3$ なので $2\times3=6\to1$。理由：$17=5m+2$、$23=5n+3$ とすると、積は $5(\cdots)+2\times3$ の形になるから。

中学受験（算数）での使い方

大学受験（数学A）での使い方

よくある間違い

• 約数の個数で「＋1」を忘れる：0乗（1）も約数に入る。
• 3の倍数の判定を一の位でする：各位の数の和で判定する。

練習問題

1. 中学受験 100 の約数の個数と総和を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $100=2^2 imes5^2$。個数 $3 imes3=9$、総和 $(1+2+4)(1+5+25)=7 imes31=217$。
2. 中学受験 1から100までの整数のうち、3でも4でも割り切れる数は何個ありますか。
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   12の倍数なので $100div12=8$ あまり4。答え $8$ 個
3. 大学受験 $2^{50}$ を7で割った余りを求めなさい。
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   $2^3=8$ は7で割ると1余る。$2^{50}=(2^3)^{16} imes4$ なので余りは $4$。答え $4$

関連する公式

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よくある質問

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