最大公約数・最小公倍数の求め方｜すだれ算・素因数分解・積＝G×L の証明・文章題の見分け方と例題【中学受験〜高校受験】

うかるくん

文章題で、最大公約数と最小公倍数のどっちを使うかいつも迷うよ

合格先生

「分ける・できるだけ大きく」なら最大公約数、「そろう・同時に」なら最小公倍数だ。

最大公約数・最小公倍数の求め方

2つ以上の整数に共通する約数（公約数）のうち最大のものが最大公約数（G.C.D.）、共通する倍数（公倍数）のうち最小のものが最小公倍数（L.C.M.）です。

素因数分解でも同じです：$24=2^3\times3$、$36=2^2\times3^2$。最大公約数は $2^2\times3=12$、最小公倍数は $2^3\times3^2=72$。

証明：2数の積＝最大公約数×最小公倍数

$a,\ b$ の最大公約数を $G$ として、$a=Ga'$、$b=Gb'$ と書くと、$a'$ と $b'$ は 1 以外に公約数をもちません（もてば $G$ が最大でなくなる）。

このとき最小公倍数は $L=Ga'b'$（$a$ にも $b$ にも足りない分 $b'$、$a'$ をかけたもの）。よって

例：$24\times36=864=12\times72$。

最大公約数は「同じ大きさで分けられるいちばん大きい単位」、最小公倍数は「何個か並べてはじめてそろう長さ」です。文章題ではこのイメージで見分けます。

中学受験（算数）での使い方

高校受験・大学受験での使い方

よくある間違い

合格先生

2数の積を最小公倍数とするな。$24\times36=864$ は公倍数だが、最小は72だ。

• 最小公倍数を2数の積とする：$24\times36=864$ は公倍数だが最小ではない。
• 文章題で取りちがえる：「分ける・できるだけ大きく」は最大公約数、「そろう・同時に」は最小公倍数。

練習問題

うかるくん

まずはすだれ算で、左の数と下の数を確かめるよ

1. 中学受験 42 と 56 の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $42=2\times3\times7$、$56=2^3\times7$。最大公約数 $14$、最小公倍数 $168$
2. 中学受験 12、18、30 の最小公倍数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $2^2\times3^2\times5=180$。答え $180$
3. 高校受験 最大公約数が 8、最小公倍数が 96 の2つの数で、一方が 32 のとき、もう一方を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $8\times96\div32=24$。答え $24$

関連する公式

• ユークリッドの互除法（大きな数の最大公約数）
• 整数の性質（約数の個数・倍数の判定）
• 仕事算（全体を最小公倍数にする）
• 植木算
• 1次不定方程式
• 包除原理（倍数の個数）
• 余りの問題

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• プラトン数（12960000）と216
  216 など、約数・倍数で見ると面白い数の話

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）