余りの問題の解き方と公式｜余りがそろう・不足がそろう・差で割り切れる理由と例題【中学受験】

うかるくん

3で割ると2余り、5で割ると4余る数って、どう探すの？

合格先生

どちらも1足りないと見るんだ。だから15の倍数より1小さい数、14、29、…となるぞ。

余りの問題の解き方

「3で割ると2余り、5で割ると4余る数」のような余りの問題は、余りがそろうか、足りない数（不足）がそろうかを見るのがコツです。そろえば、最小公倍数を使って一気に求められます。

なぜ最小公倍数を使うのか

「3で割ると2余る数」は 2, 5, 8, 11, 14, … で、3の倍数より1小さい数です。「5で割ると4余る数」は 4, 9, 14, 19, … で、5の倍数より1小さい数です。両方に当てはまるのは、3の倍数でも5の倍数でもある数（15の倍数）より1小さい数なので、14, 29, 44, … と15ずつふえます。

余りがそろうときも同じです。「4で割っても6で割っても3余る数」は、3をひくと4でも6でも割り切れるので、12の倍数＋3です。

余りが等しいと、差が割り切れるわけ

52 と 80 を 7 で割ると、どちらも3余ります（52＝7×7＋3、80＝7×11＋3）。テープで、余りの3をそろえて左に置くと、80 は 52 より7のかたまりが4つ分長いだけです。だから差の 28 は 7 で割り切れます。反対に、「ある数で割ると余りが等しい」とき、ある数は差の約数になります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

100を割ると4余る数に、4以下の数を入れてはだめだ。余りは割る数より小さいぞ。

• 余りが割る数以上になる：余りは割る数より小さい。「100を割ると4余る数」に 1, 2, 3, 4 は入らない。
• 不足がそろうのに余りで考える：4で割ると3余り、6で割ると5余るなら「1足りない」でそろえる。
• 最小公倍数ではなく、割る数をかけた数ずつ足す：4と6なら24ではなく12ずつ。

練習問題

合格先生

余りか不足、どちらがそろうかを最初に見るんだ。

1. 中学受験 3で割っても5で割っても2余る3けたの整数のうち、いちばん小さいものを求めなさい。
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   15の倍数＋2：2, 17, …, 92, 107。3けたで最小は 107。答え 107
2. 中学受験 59、101、157 をある整数で割ると、余りがすべて等しくなりました。このような整数のうち、いちばん大きいものを求めなさい。
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   差 101−59＝42、157−101＝56 がどちらも割り切れる。42 と 56 の最大公約数は 14。確かめ：59＝14×4＋3、101＝14×7＋3、157＝14×11＋3。答え 14
3. 中学受験 6で割ると1余り、8で割ると3余る2けたの整数のうち、いちばん大きいものを求めなさい。
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   6−1＝5、8−3＝5 でどちらも5足りない。24の倍数−5：19, 43, 67, 91, 115。2けたで最大は 91。答え 91

関連する公式

• 最大公約数・最小公倍数
• 整数の性質（約数・倍数）
• 周期算（余りで何番目かを考える）
• 日暦算（曜日の計算）
• 中国剰余定理（大学受験）
• 約数の和と完全数

よくある質問

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