約数の和の解き方と公式｜面積図でわかるかけ算の理由・完全数（6, 28, 496）の例題【中学受験】

うかるくん

約数の和が、かけ算1回で出るって本当なの？

合格先生

本当だ。12なら (1＋2＋4)×(1＋3)。面積図にすると、部屋1つ1つが約数になるんだ。

約数の和の求め方

ある数の約数（その数を割り切れる整数）を全部足した数を約数の和といいます。小さい数なら、かけてその数になるペアで約数を書き出して足します。大きい数は、素因数分解（素数のかけ算に分ける）を使うと、かけ算1回で求められます。

なぜ「かけ算」で約数の和が出るのか

12＝2×2×3 の約数は、「2を何個使うか（0個・1個・2個 → 1, 2, 4）」と「3を何個使うか（0個・1個 → 1, 3）」の組み合わせで、ちょうど1回ずつできます。

これを面積図で考えます。長方形のよこを 1, 2, 4 に、たてを 1, 3 に分けると、6つの部屋ができます。それぞれの部屋の面積は「よこ×たて」なので、1, 2, 4, 3, 6, 12 で、12の約数がちょうど1回ずつ出てきます。部屋の面積を全部足したもの（約数の和）は、長方形全体の面積 (1＋2＋4)×(1＋3)＝7×4＝28 と同じです。

完全数・過剰数・不足数

自分以外の約数の和が自分と等しい数を完全数といいます。6（1＋2＋3）、28（1＋2＋4＋7＋14）、496、8128 と続きます。自分以外の約数の和が自分より大きい数を過剰数（例：12 は 1＋2＋3＋4＋6＝16）、小さい数を不足数（例：8 は 1＋2＋4＝7）といいます。

6＝2×3、28＝4×7、496＝16×31、8128＝64×127 のように、完全数は「2を何回かかけた数」×「その2倍から1をひいた素数」の形をしています。この形なら完全数になることは古代ギリシャのユークリッドの『原論』にあり、偶数の完全数がこの形しかないことは、のちにオイラーが示しました。奇数の完全数があるかどうかは、今も分かっていません。また、6, 28, 496 は三角数（1から 3, 7, 31 までの和）にもなっています。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

(2＋4)×3 のように「1＋」を忘れてはだめだ。1も約数だぞ。

• 1とその数自身を入れ忘れる：約数の和には 1 も、その数自身も入る（完全数を調べるときは自分をひく）。
• ペアの真ん中を2回足す：36 の 6 は 6×6 なので、1回だけ足す。
• 公式で「1＋」を忘れる：(2＋4)×3 ではなく (1＋2＋4)×(1＋3)。

練習問題

サクラちゃん

6や28みたいな完全数も、自分で確かめてみよう！

1. 中学受験 24 の約数の和を求めなさい。
   答えと解説を見る

   24＝2×2×2×3 なので (1＋2＋4＋8)×(1＋3)＝15×4＝60。答え 60
2. 中学受験 50 の約数の和を求めなさい。
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   50＝2×5×5 なので (1＋2)×(1＋5＋25)＝3×31＝93。（1＋2＋5＋10＋25＋50＝93）答え 93
3. 中学受験 28 の約数の逆数をすべて足しなさい。$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{28}$
   答えと解説を見る

   分母を 28 にそろえると $\dfrac{28+14+7+4+2+1}{28}=\dfrac{56}{28}=2$。分子は約数の和（56）になる。完全数なら、約数の和は自分の2倍なので答えは2。答え 2

関連する公式

• 整数の性質（約数の個数・総和）
• 最大公約数・最小公倍数
• 三角数・四角数
• 余りの問題（約数を使う）
• 等比数列の和の公式（1＋2＋4＋…）

よくある質問

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